Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119940 / 119007
↖ ↑ ↗
← S 81.187545°
E149.425049°		 ← 46.78 m → S 81.187545°
E149.427795°		 →
↑
46.76 m
↓
↑
46.76 m
↓
S 81.187965°
E149.425049°		 ← 46.78 m →
2 188 m²		 S 81.187965°
E149.427795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915073394775391 y=0.907955169677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915073394775391 × 217)
    floor (0.915073394775391 × 131072)
    floor (119940.5)     		tx = 119940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907955169677734 × 217)
    floor (0.907955169677734 × 131072)
    floor (119007.5)     		ty = 119007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119940 / 119007 ti = "17/119940/119007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119940/119007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119940 ÷ 217
    119940 ÷ 131072     		x = 0.915069580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119007 ÷ 217
    119007 ÷ 131072     		y = 0.907951354980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915069580078125 × 2 - 1) × π
    0.83013916015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60795909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907951354980469 × 2 - 1) × π
    -0.815902709960938 × 3.1415926535     		Φ = -2.56323395958402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60795909} λ = 2.60795909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56323395958402))-π/2
    2×atan(0.0770551438472384)-π/2
    2×0.0769031800030096-π/2
    0.153806360006019-1.57079632675     		φ = -1.41698997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60795909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.425049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41698997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.187545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119940 KachelY 119007 2.60795909 -1.41698997 149.425049 -81.187545
    Oben rechts KachelX + 1 119941 KachelY 119007 2.60800702 -1.41698997 149.427795 -81.187545
    Unten links KachelX 119940 KachelY + 1 119008 2.60795909 -1.41699731 149.425049 -81.187965
    Unten rechts KachelX + 1 119941 KachelY + 1 119008 2.60800702 -1.41699731 149.427795 -81.187965
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41698997--1.41699731) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dl = 46.7631400001423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41698997--1.41699731) × R
    7.34000000002233e-06 × 6371000     		dr = 46.7631400001423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60795909-2.60800702) × cos(-1.41698997) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153200656341778 × 6371000     		do = 46.7816634178863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60795909-2.60800702) × cos(-1.41699731) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153193402985605 × 6371000     		du = 46.779448518321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41698997)-sin(-1.41699731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153200656341778-0.153193402985605)×R²
    abs(2.60800702-2.60795909)×7.25335617285383e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.25335617285383e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.25335617285383e-06×40589641000000     		ar = 2187.60568797354m²