Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119939 / 119044
↖ ↑ ↗
← S 81.203100°
E149.422302°		 ← 46.71 m → S 81.203100°
E149.425049°		 →
↑
46.70 m
↓
↑
46.70 m
↓
S 81.203520°
E149.422302°		 ← 46.71 m →
2 181 m²		 S 81.203520°
E149.425049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915065765380859 y=0.908237457275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915065765380859 × 217)
    floor (0.915065765380859 × 131072)
    floor (119939.5)     		tx = 119939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908237457275391 × 217)
    floor (0.908237457275391 × 131072)
    floor (119044.5)     		ty = 119044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119939 / 119044 ti = "17/119939/119044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119939/119044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119939 ÷ 217
    119939 ÷ 131072     		x = 0.915061950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119044 ÷ 217
    119044 ÷ 131072     		y = 0.908233642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915061950683594 × 2 - 1) × π
    0.830123901367188 × 3.1415926535     		Λ = 2.60791115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908233642578125 × 2 - 1) × π
    -0.81646728515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56500762486996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60791115} λ = 2.60791115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56500762486996))-π/2
    2×atan(0.0769185949453142)-π/2
    2×0.0767674356550633-π/2
    0.153534871310127-1.57079632675     		φ = -1.41726146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60791115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.422302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41726146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.203100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119939 KachelY 119044 2.60791115 -1.41726146 149.422302 -81.203100
    Oben rechts KachelX + 1 119940 KachelY 119044 2.60795909 -1.41726146 149.425049 -81.203100
    Unten links KachelX 119939 KachelY + 1 119045 2.60791115 -1.41726879 149.422302 -81.203520
    Unten rechts KachelX + 1 119940 KachelY + 1 119045 2.60795909 -1.41726879 149.425049 -81.203520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41726146--1.41726879) × R
    7.3300000000831e-06 × 6371000     		dl = 46.6994300005295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41726146--1.41726879) × R
    7.3300000000831e-06 × 6371000     		dr = 46.6994300005295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60791115-2.60795909) × cos(-1.41726146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152932365610964 × 6371000     		do = 46.7094809366486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60791115-2.60795909) × cos(-1.41726879) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152925121832155 × 6371000     		du = 46.7072685001454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41726146)-sin(-1.41726879))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152932365610964-0.152925121832155)×R²
    abs(2.60795909-2.60791115)×7.24377880914617e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.24377880914617e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.24377880914617e-06×40589641000000     		ar = 2181.25447551535m²