Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119939 / 117998
↖ ↑ ↗
← S 80.752673°
E149.422302°		 ← 49.08 m → S 80.752673°
E149.425049°		 →
↑
49.12 m
↓
↑
49.12 m
↓
S 80.753115°
E149.422302°		 ← 49.08 m →
2 411 m²		 S 80.753115°
E149.425049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119939 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915065765380859 y=0.900257110595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915065765380859 × 217)
    floor (0.915065765380859 × 131072)
    floor (119939.5)     		tx = 119939
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900257110595703 × 217)
    floor (0.900257110595703 × 131072)
    floor (117998.5)     		ty = 117998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119939 / 117998 ti = "17/119939/117998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119939/117998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119939 ÷ 217
    119939 ÷ 131072     		x = 0.915061950683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117998 ÷ 217
    117998 ÷ 131072     		y = 0.900253295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915061950683594 × 2 - 1) × π
    0.830123901367188 × 3.1415926535     		Λ = 2.60791115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900253295898438 × 2 - 1) × π
    -0.800506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.51486562786739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60791115} λ = 2.60791115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51486562786739))-π/2
    2×atan(0.0808737786587241)-π/2
    2×0.0806981472312356-π/2
    0.161396294462471-1.57079632675     		φ = -1.40940003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60791115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.422302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40940003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.752673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119939 KachelY 117998 2.60791115 -1.40940003 149.422302 -80.752673
    Oben rechts KachelX + 1 119940 KachelY 117998 2.60795909 -1.40940003 149.425049 -80.752673
    Unten links KachelX 119939 KachelY + 1 117999 2.60791115 -1.40940774 149.422302 -80.753115
    Unten rechts KachelX + 1 119940 KachelY + 1 117999 2.60795909 -1.40940774 149.425049 -80.753115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40940003--1.40940774) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dl = 49.1204099999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40940003--1.40940774) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dr = 49.1204099999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60791115-2.60795909) × cos(-1.40940003) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160696513151013 × 6371000     		do = 49.0808514445356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60791115-2.60795909) × cos(-1.40940774) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160688903346433 × 6371000     		du = 49.0785272143406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40940003)-sin(-1.40940774))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160696513151013-0.160688903346433)×R²
    abs(2.60795909-2.60791115)×7.60980457975569e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.60980457975569e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.60980457975569e-06×40589641000000     		ar = 2410.81446260648m²