Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119937 / 118962
↖ ↑ ↗
← S 81.168590°
E149.416809°		 ← 46.88 m → S 81.168590°
E149.419555°		 →
↑
46.89 m
↓
↑
46.89 m
↓
S 81.169011°
E149.416809°		 ← 46.88 m →
2 198 m²		 S 81.169011°
E149.419555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915050506591797 y=0.907611846923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915050506591797 × 217)
    floor (0.915050506591797 × 131072)
    floor (119937.5)     		tx = 119937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907611846923828 × 217)
    floor (0.907611846923828 × 131072)
    floor (118962.5)     		ty = 118962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119937 / 118962 ti = "17/119937/118962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119937/118962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119937 ÷ 217
    119937 ÷ 131072     		x = 0.915046691894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118962 ÷ 217
    118962 ÷ 131072     		y = 0.907608032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915046691894531 × 2 - 1) × π
    0.830093383789062 × 3.1415926535     		Λ = 2.60781528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907608032226562 × 2 - 1) × π
    -0.815216064453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56107679910112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60781528} λ = 2.60781528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56107679910112))-π/2
    2×atan(0.0772215435694764)-π/2
    2×0.077068595449363-π/2
    0.154137190898726-1.57079632675     		φ = -1.41665914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60781528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.416809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41665914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.168590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119937 KachelY 118962 2.60781528 -1.41665914 149.416809 -81.168590
    Oben rechts KachelX + 1 119938 KachelY 118962 2.60786321 -1.41665914 149.419555 -81.168590
    Unten links KachelX 119937 KachelY + 1 118963 2.60781528 -1.41666650 149.416809 -81.169011
    Unten rechts KachelX + 1 119938 KachelY + 1 118963 2.60786321 -1.41666650 149.419555 -81.169011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41665914--1.41666650) × R
    7.36000000012282e-06 × 6371000     		dl = 46.8905600007825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41665914--1.41666650) × R
    7.36000000012282e-06 × 6371000     		dr = 46.8905600007825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60781528-2.60786321) × cos(-1.41665914) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153527572537498 × 6371000     		do = 46.8814912110514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60781528-2.60786321) × cos(-1.41666650) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153520299790819 × 6371000     		du = 46.8792703903619m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41665914)-sin(-1.41666650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153527572537498-0.153520299790819)×R²
    abs(2.60786321-2.60781528)×7.27274667872146e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.27274667872146e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.27274667872146e-06×40589641000000     		ar = 2198.24730879208m²