Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119936 / 117986
↖ ↑ ↗
← S 80.747376°
E149.414063°		 ← 49.11 m → S 80.747376°
E149.416809°		 →
↑
49.06 m
↓
↑
49.06 m
↓
S 80.747817°
E149.414063°		 ← 49.11 m →
2 409 m²		 S 80.747817°
E149.416809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915042877197266 y=0.900165557861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915042877197266 × 217)
    floor (0.915042877197266 × 131072)
    floor (119936.5)     		tx = 119936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900165557861328 × 217)
    floor (0.900165557861328 × 131072)
    floor (117986.5)     		ty = 117986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119936 / 117986 ti = "17/119936/117986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119936/117986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119936 ÷ 217
    119936 ÷ 131072     		x = 0.9150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117986 ÷ 217
    117986 ÷ 131072     		y = 0.900161743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9150390625 × 2 - 1) × π
    0.830078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60776734
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900161743164062 × 2 - 1) × π
    -0.800323486328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51429038507195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60776734} λ = 2.60776734}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51429038507195))-π/2
    2×atan(0.0809203141005432)-π/2
    2×0.0807443801097351-π/2
    0.16148876021947-1.57079632675     		φ = -1.40930757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60776734} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.414063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40930757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.747376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119936 KachelY 117986 2.60776734 -1.40930757 149.414063 -80.747376
    Oben rechts KachelX + 1 119937 KachelY 117986 2.60781528 -1.40930757 149.416809 -80.747376
    Unten links KachelX 119936 KachelY + 1 117987 2.60776734 -1.40931527 149.414063 -80.747817
    Unten rechts KachelX + 1 119937 KachelY + 1 117987 2.60781528 -1.40931527 149.416809 -80.747817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40930757--1.40931527) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dl = 49.0567000003497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40930757--1.40931527) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dr = 49.0567000003497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60776734-2.60781528) × cos(-1.40930757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160787770841409 × 6371000     		do = 49.1087238921554m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60776734-2.60781528) × cos(-1.40931527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160780171021316 × 6371000     		du = 49.1064027114799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40930757)-sin(-1.40931527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160787770841409-0.160780171021316)×R²
    abs(2.60781528-2.60776734)×7.59982009237992e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.59982009237992e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.59982009237992e-06×40589641000000     		ar = 2409.05500079377m²