Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119933 / 118790
↖ ↑ ↗
← S 81.095765°
E149.405823°		 ← 47.27 m → S 81.095765°
E149.408570°		 →
↑
47.27 m
↓
↑
47.27 m
↓
S 81.096190°
E149.405823°		 ← 47.27 m →
2 235 m²		 S 81.096190°
E149.408570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915019989013672 y=0.906299591064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915019989013672 × 217)
    floor (0.915019989013672 × 131072)
    floor (119933.5)     		tx = 119933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906299591064453 × 217)
    floor (0.906299591064453 × 131072)
    floor (118790.5)     		ty = 118790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119933 / 118790 ti = "17/119933/118790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119933/118790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119933 ÷ 217
    119933 ÷ 131072     		x = 0.915016174316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118790 ÷ 217
    118790 ÷ 131072     		y = 0.906295776367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915016174316406 × 2 - 1) × π
    0.830032348632812 × 3.1415926535     		Λ = 2.60762353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906295776367188 × 2 - 1) × π
    -0.812591552734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.55283165236647
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60762353} λ = 2.60762353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55283165236647))-π/2
    2×atan(0.0778608786109385)-π/2
    2×0.0777041093537436-π/2
    0.155408218707487-1.57079632675     		φ = -1.41538811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60762353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.405823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41538811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.095765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119933 KachelY 118790 2.60762353 -1.41538811 149.405823 -81.095765
    Oben rechts KachelX + 1 119934 KachelY 118790 2.60767147 -1.41538811 149.408570 -81.095765
    Unten links KachelX 119933 KachelY + 1 118791 2.60762353 -1.41539553 149.405823 -81.096190
    Unten rechts KachelX + 1 119934 KachelY + 1 118791 2.60767147 -1.41539553 149.408570 -81.096190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41538811--1.41539553) × R
    7.41999999998022e-06 × 6371000     		dl = 47.272819999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41538811--1.41539553) × R
    7.41999999998022e-06 × 6371000     		dr = 47.272819999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60762353-2.60767147) × cos(-1.41538811) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154783409317332 × 6371000     		do = 47.274837330438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60762353-2.60767147) × cos(-1.41539553) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154776078735736 × 6371000     		du = 47.2725983821295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41538811)-sin(-1.41539553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154783409317332-0.154776078735736)×R²
    abs(2.60767147-2.60762353)×7.3305815958824e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.3305815958824e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.3305815958824e-06×40589641000000     		ar = 2234.76195490068m²