Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119933 / 117989
↖ ↑ ↗
← S 80.748700°
E149.405823°		 ← 49.10 m → S 80.748700°
E149.408570°		 →
↑
49.06 m
↓
↑
49.06 m
↓
S 80.749142°
E149.405823°		 ← 49.10 m →
2 409 m²		 S 80.749142°
E149.408570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915019989013672 y=0.900188446044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915019989013672 × 217)
    floor (0.915019989013672 × 131072)
    floor (119933.5)     		tx = 119933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900188446044922 × 217)
    floor (0.900188446044922 × 131072)
    floor (117989.5)     		ty = 117989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119933 / 117989 ti = "17/119933/117989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119933/117989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119933 ÷ 217
    119933 ÷ 131072     		x = 0.915016174316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117989 ÷ 217
    117989 ÷ 131072     		y = 0.900184631347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915016174316406 × 2 - 1) × π
    0.830032348632812 × 3.1415926535     		Λ = 2.60762353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900184631347656 × 2 - 1) × π
    -0.800369262695312 × 3.1415926535     		Φ = -2.51443419577081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60762353} λ = 2.60762353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51443419577081))-π/2
    2×atan(0.0809086777303577)-π/2
    2×0.0807328194291251-π/2
    0.16146563885825-1.57079632675     		φ = -1.40933069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60762353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.405823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40933069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.748700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119933 KachelY 117989 2.60762353 -1.40933069 149.405823 -80.748700
    Oben rechts KachelX + 1 119934 KachelY 117989 2.60767147 -1.40933069 149.408570 -80.748700
    Unten links KachelX 119933 KachelY + 1 117990 2.60762353 -1.40933839 149.405823 -80.749142
    Unten rechts KachelX + 1 119934 KachelY + 1 117990 2.60767147 -1.40933839 149.408570 -80.749142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40933069--1.40933839) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dl = 49.0567000003497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40933069--1.40933839) × R
    7.70000000005489e-06 × 6371000     		dr = 49.0567000003497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60762353-2.60767147) × cos(-1.40933069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16076495161268 × 6371000     		do = 49.1017543123347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60762353-2.60767147) × cos(-1.40933839) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160757351763966 × 6371000     		du = 49.0994331229174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40933069)-sin(-1.40933839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16076495161268-0.160757351763966)×R²
    abs(2.60767147-2.60762353)×7.59984871376296e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.59984871376296e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.59984871376296e-06×40589641000000     		ar = 2408.71309588722m²