Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119933 / 117545
↖ ↑ ↗
← S 80.550577°
E149.405823°		 ← 50.14 m → S 80.550577°
E149.408570°		 →
↑
50.14 m
↓
↑
50.14 m
↓
S 80.551028°
E149.405823°		 ← 50.14 m →
2 514 m²		 S 80.551028°
E149.408570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915019989013672 y=0.896800994873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915019989013672 × 217)
    floor (0.915019989013672 × 131072)
    floor (119933.5)     		tx = 119933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896800994873047 × 217)
    floor (0.896800994873047 × 131072)
    floor (117545.5)     		ty = 117545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119933 / 117545 ti = "17/119933/117545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119933/117545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119933 ÷ 217
    119933 ÷ 131072     		x = 0.915016174316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117545 ÷ 217
    117545 ÷ 131072     		y = 0.896797180175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915016174316406 × 2 - 1) × π
    0.830032348632812 × 3.1415926535     		Λ = 2.60762353
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.896797180175781 × 2 - 1) × π
    -0.793594360351562 × 3.1415926535     		Φ = -2.4931502123395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60762353} λ = 2.60762353}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4931502123395))-π/2
    2×atan(0.0826491935362782)-π/2
    2×0.0824617719314578-π/2
    0.164923543862916-1.57079632675     		φ = -1.40587278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60762353} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.405823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40587278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.550577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119933 KachelY 117545 2.60762353 -1.40587278 149.405823 -80.550577
    Oben rechts KachelX + 1 119934 KachelY 117545 2.60767147 -1.40587278 149.408570 -80.550577
    Unten links KachelX 119933 KachelY + 1 117546 2.60762353 -1.40588065 149.405823 -80.551028
    Unten rechts KachelX + 1 119934 KachelY + 1 117546 2.60767147 -1.40588065 149.408570 -80.551028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40587278--1.40588065) × R
    7.87000000013194e-06 × 6371000     		dl = 50.1397700008406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40587278--1.40588065) × R
    7.87000000013194e-06 × 6371000     		dr = 50.1397700008406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60762353-2.60767147) × cos(-1.40587278) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16417691566568 × 6371000     		do = 50.1438559580752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60762353-2.60767147) × cos(-1.40588065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164169152449334 × 6371000     		du = 50.1414848719777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40587278)-sin(-1.40588065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16417691566568-0.164169152449334)×R²
    abs(2.60767147-2.60762353)×7.76321634668453e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.76321634668453e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.76321634668453e-06×40589641000000     		ar = 2514.14196175434m²