Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119932 / 118812
↖ ↑ ↗
← S 81.105113°
E149.403076°		 ← 47.23 m → S 81.105113°
E149.405823°		 →
↑
47.21 m
↓
↑
47.21 m
↓
S 81.105537°
E149.403076°		 ← 47.22 m →
2 229 m²		 S 81.105537°
E149.405823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915012359619141 y=0.906467437744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915012359619141 × 217)
    floor (0.915012359619141 × 131072)
    floor (119932.5)     		tx = 119932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906467437744141 × 217)
    floor (0.906467437744141 × 131072)
    floor (118812.5)     		ty = 118812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119932 / 118812 ti = "17/119932/118812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119932/118812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119932 ÷ 217
    119932 ÷ 131072     		x = 0.915008544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118812 ÷ 217
    118812 ÷ 131072     		y = 0.906463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915008544921875 × 2 - 1) × π
    0.83001708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60757559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906463623046875 × 2 - 1) × π
    -0.81292724609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.55388626415811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60757559} λ = 2.60757559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55388626415811))-π/2
    2×atan(0.0777788088937001)-π/2
    2×0.0776225336531261-π/2
    0.155245067306252-1.57079632675     		φ = -1.41555126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60757559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.403076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41555126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.105113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119932 KachelY 118812 2.60757559 -1.41555126 149.403076 -81.105113
    Oben rechts KachelX + 1 119933 KachelY 118812 2.60762353 -1.41555126 149.405823 -81.105113
    Unten links KachelX 119932 KachelY + 1 118813 2.60757559 -1.41555867 149.403076 -81.105537
    Unten rechts KachelX + 1 119933 KachelY + 1 118813 2.60762353 -1.41555867 149.405823 -81.105537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41555126--1.41555867) × R
    7.41000000004099e-06 × 6371000     		dl = 47.2091100002612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41555126--1.41555867) × R
    7.41000000004099e-06 × 6371000     		dr = 47.2091100002612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60757559-2.60762353) × cos(-1.41555126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154622223472028 × 6371000     		do = 47.2256070243586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60757559-2.60762353) × cos(-1.41555867) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154614902582906 × 6371000     		du = 47.2233710363809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41555126)-sin(-1.41555867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154622223472028-0.154614902582906)×R²
    abs(2.60762353-2.60757559)×7.32088912239193e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.32088912239193e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.32088912239193e-06×40589641000000     		ar = 2229.42609732515m²