Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119932 / 118491
↖ ↑ ↗
← S 80.967749°
E149.403076°		 ← 47.95 m → S 80.967749°
E149.405823°		 →
↑
47.91 m
↓
↑
47.91 m
↓
S 80.968179°
E149.403076°		 ← 47.95 m →
2 297 m²		 S 80.968179°
E149.405823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915012359619141 y=0.904018402099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915012359619141 × 217)
    floor (0.915012359619141 × 131072)
    floor (119932.5)     		tx = 119932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904018402099609 × 217)
    floor (0.904018402099609 × 131072)
    floor (118491.5)     		ty = 118491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119932 / 118491 ti = "17/119932/118491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119932/118491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119932 ÷ 217
    119932 ÷ 131072     		x = 0.915008544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118491 ÷ 217
    118491 ÷ 131072     		y = 0.904014587402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915008544921875 × 2 - 1) × π
    0.83001708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60757559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904014587402344 × 2 - 1) × π
    -0.808029174804688 × 3.1415926535     		Φ = -2.53849851938007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60757559} λ = 2.60757559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53849851938007))-π/2
    2×atan(0.0789849051059775)-π/2
    2×0.0788212650589136-π/2
    0.157642530117827-1.57079632675     		φ = -1.41315380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60757559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.403076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41315380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.967749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119932 KachelY 118491 2.60757559 -1.41315380 149.403076 -80.967749
    Oben rechts KachelX + 1 119933 KachelY 118491 2.60762353 -1.41315380 149.405823 -80.967749
    Unten links KachelX 119932 KachelY + 1 118492 2.60757559 -1.41316132 149.403076 -80.968179
    Unten rechts KachelX + 1 119933 KachelY + 1 118492 2.60762353 -1.41316132 149.405823 -80.968179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41315380--1.41316132) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dl = 47.909920000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41315380--1.41316132) × R
    7.52000000003861e-06 × 6371000     		dr = 47.909920000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60757559-2.60762353) × cos(-1.41315380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156990404182536 × 6371000     		do = 47.9489103703187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60757559-2.60762353) × cos(-1.41316132) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156982977425134 × 6371000     		du = 47.9466420474433m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41315380)-sin(-1.41316132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156990404182536-0.156982977425134)×R²
    abs(2.60762353-2.60757559)×7.42675740209031e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.42675740209031e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.42675740209031e-06×40589641000000     		ar = 2297.17412252202m²