Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119931 / 119124
↖ ↑ ↗
← S 81.236639°
E149.400329°		 ← 46.53 m → S 81.236639°
E149.403076°		 →
↑
46.57 m
↓
↑
46.57 m
↓
S 81.237058°
E149.400329°		 ← 46.53 m →
2 167 m²		 S 81.237058°
E149.403076°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915004730224609 y=0.908847808837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915004730224609 × 217)
    floor (0.915004730224609 × 131072)
    floor (119931.5)     		tx = 119931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908847808837891 × 217)
    floor (0.908847808837891 × 131072)
    floor (119124.5)     		ty = 119124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119931 / 119124 ti = "17/119931/119124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119931/119124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119931 ÷ 217
    119931 ÷ 131072     		x = 0.915000915527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119124 ÷ 217
    119124 ÷ 131072     		y = 0.908843994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915000915527344 × 2 - 1) × π
    0.830001831054688 × 3.1415926535     		Λ = 2.60752765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908843994140625 × 2 - 1) × π
    -0.81768798828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56884257683957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60752765} λ = 2.60752765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56884257683957))-π/2
    2×atan(0.0766241807211594)-π/2
    2×0.076474746497789-π/2
    0.152949492995578-1.57079632675     		φ = -1.41784683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60752765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.400329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41784683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.236639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119931 KachelY 119124 2.60752765 -1.41784683 149.400329 -81.236639
    Oben rechts KachelX + 1 119932 KachelY 119124 2.60757559 -1.41784683 149.403076 -81.236639
    Unten links KachelX 119931 KachelY + 1 119125 2.60752765 -1.41785414 149.400329 -81.237058
    Unten rechts KachelX + 1 119932 KachelY + 1 119125 2.60757559 -1.41785414 149.403076 -81.237058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41784683--1.41785414) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dl = 46.5720099998892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41784683--1.41785414) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dr = 46.5720099998892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60752765-2.60757559) × cos(-1.41784683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152353855349953 × 6371000     		do = 46.532789012082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60752765-2.60757559) × cos(-1.41785414) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152346630682747 × 6371000     		du = 46.5305824127542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41784683)-sin(-1.41785414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152353855349953-0.152346630682747)×R²
    abs(2.60757559-2.60752765)×7.22466720626258e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.22466720626258e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.22466720626258e-06×40589641000000     		ar = 2167.07413230352m²