Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119929 / 118957
↖ ↑ ↗
← S 81.166481°
E149.394836°		 ← 46.90 m → S 81.166481°
E149.397583°		 →
↑
46.89 m
↓
↑
46.89 m
↓
S 81.166902°
E149.394836°		 ← 46.90 m →
2 199 m²		 S 81.166902°
E149.397583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914989471435547 y=0.907573699951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914989471435547 × 217)
    floor (0.914989471435547 × 131072)
    floor (119929.5)     		tx = 119929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907573699951172 × 217)
    floor (0.907573699951172 × 131072)
    floor (118957.5)     		ty = 118957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119929 / 118957 ti = "17/119929/118957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119929/118957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119929 ÷ 217
    119929 ÷ 131072     		x = 0.914985656738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118957 ÷ 217
    118957 ÷ 131072     		y = 0.907569885253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914985656738281 × 2 - 1) × π
    0.829971313476562 × 3.1415926535     		Λ = 2.60743178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907569885253906 × 2 - 1) × π
    -0.815139770507812 × 3.1415926535     		Φ = -2.56083711460302
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60743178} λ = 2.60743178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56083711460302))-π/2
    2×atan(0.0772400545947037)-π/2
    2×0.0770869967184477-π/2
    0.154173993436895-1.57079632675     		φ = -1.41662233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60743178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.394836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41662233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.166481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119929 KachelY 118957 2.60743178 -1.41662233 149.394836 -81.166481
    Oben rechts KachelX + 1 119930 KachelY 118957 2.60747972 -1.41662233 149.397583 -81.166481
    Unten links KachelX 119929 KachelY + 1 118958 2.60743178 -1.41662969 149.394836 -81.166902
    Unten rechts KachelX + 1 119930 KachelY + 1 118958 2.60747972 -1.41662969 149.397583 -81.166902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41662233--1.41662969) × R
    7.35999999990078e-06 × 6371000     		dl = 46.8905599993679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41662233--1.41662969) × R
    7.35999999990078e-06 × 6371000     		dr = 46.8905599993679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60743178-2.60747972) × cos(-1.41662233) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153563946027522 × 6371000     		do = 46.9023818527453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60743178-2.60747972) × cos(-1.41662969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153556673322442 × 6371000     		du = 46.9001605814143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41662233)-sin(-1.41662969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153563946027522-0.153556673322442)×R²
    abs(2.60747972-2.60743178)×7.27270508063538e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.27270508063538e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.27270508063538e-06×40589641000000     		ar = 2199.22687218737m²