Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119928 / 118960
↖ ↑ ↗
← S 81.167746°
E149.392090°		 ← 46.90 m → S 81.167746°
E149.394836°		 →
↑
46.89 m
↓
↑
46.89 m
↓
S 81.168168°
E149.392090°		 ← 46.89 m →
2 199 m²		 S 81.168168°
E149.394836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914981842041016 y=0.907596588134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914981842041016 × 217)
    floor (0.914981842041016 × 131072)
    floor (119928.5)     		tx = 119928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907596588134766 × 217)
    floor (0.907596588134766 × 131072)
    floor (118960.5)     		ty = 118960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119928 / 118960 ti = "17/119928/118960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119928/118960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119928 ÷ 217
    119928 ÷ 131072     		x = 0.91497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118960 ÷ 217
    118960 ÷ 131072     		y = 0.9075927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91497802734375 × 2 - 1) × π
    0.8299560546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60738384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9075927734375 × 2 - 1) × π
    -0.815185546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56098092530188
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60738384} λ = 2.60738384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56098092530188))-π/2
    2×atan(0.0772289474471549)-π/2
    2×0.0770759554340172-π/2
    0.154151910868034-1.57079632675     		φ = -1.41664442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60738384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.392090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41664442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.167746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119928 KachelY 118960 2.60738384 -1.41664442 149.392090 -81.167746
    Oben rechts KachelX + 1 119929 KachelY 118960 2.60743178 -1.41664442 149.394836 -81.167746
    Unten links KachelX 119928 KachelY + 1 118961 2.60738384 -1.41665178 149.392090 -81.168168
    Unten rechts KachelX + 1 119929 KachelY + 1 118961 2.60743178 -1.41665178 149.394836 -81.168168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41664442--1.41665178) × R
    7.36000000012282e-06 × 6371000     		dl = 46.8905600007825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41664442--1.41665178) × R
    7.36000000012282e-06 × 6371000     		dr = 46.8905600007825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60738384-2.60743178) × cos(-1.41664442) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.153542118005905 × 6371000     		do = 46.8957150135247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60738384-2.60743178) × cos(-1.41665178) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.15353484527586 × 6371000     		du = 46.8934937345687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41664442)-sin(-1.41665178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153542118005905-0.15353484527586)×R²
    abs(2.60743178-2.60738384)×7.27273004527684e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.27273004527684e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.27273004527684e-06×40589641000000     		ar = 2198.91426009126m²