Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119927 / 117529
↖ ↑ ↗
← S 80.543359°
E149.389343°		 ← 50.17 m → S 80.543359°
E149.392090°		 →
↑
50.20 m
↓
↑
50.20 m
↓
S 80.543811°
E149.389343°		 ← 50.17 m →
2 519 m²		 S 80.543811°
E149.392090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914974212646484 y=0.896678924560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914974212646484 × 217)
    floor (0.914974212646484 × 131072)
    floor (119927.5)     		tx = 119927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896678924560547 × 217)
    floor (0.896678924560547 × 131072)
    floor (117529.5)     		ty = 117529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119927 / 117529 ti = "17/119927/117529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119927/117529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119927 ÷ 217
    119927 ÷ 131072     		x = 0.914970397949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117529 ÷ 217
    117529 ÷ 131072     		y = 0.896675109863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914970397949219 × 2 - 1) × π
    0.829940795898438 × 3.1415926535     		Λ = 2.60733591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.896675109863281 × 2 - 1) × π
    -0.793350219726562 × 3.1415926535     		Φ = -2.49238322194558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60733591} λ = 2.60733591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49238322194558))-π/2
    2×atan(0.082712608990199)-π/2
    2×0.0825247568124334-π/2
    0.165049513624867-1.57079632675     		φ = -1.40574681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60733591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.389343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40574681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.543359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119927 KachelY 117529 2.60733591 -1.40574681 149.389343 -80.543359
    Oben rechts KachelX + 1 119928 KachelY 117529 2.60738384 -1.40574681 149.392090 -80.543359
    Unten links KachelX 119927 KachelY + 1 117530 2.60733591 -1.40575469 149.389343 -80.543811
    Unten rechts KachelX + 1 119928 KachelY + 1 117530 2.60738384 -1.40575469 149.392090 -80.543811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40574681--1.40575469) × R
    7.88000000007116e-06 × 6371000     		dl = 50.2034800004534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40574681--1.40575469) × R
    7.88000000007116e-06 × 6371000     		dr = 50.2034800004534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60733591-2.60738384) × cos(-1.40574681) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.164301175064479 × 6371000     		do = 50.1713403486405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60733591-2.60738384) × cos(-1.40575469) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.164293402146837 × 6371000     		du = 50.1689667947304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40574681)-sin(-1.40575469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164301175064479-0.164293402146837)×R²
    abs(2.60738384-2.60733591)×7.77291764167409e-06×R²
    4.79299999995852e-05×7.77291764167409e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×7.77291764167409e-06×40589641000000     		ar = 2518.71630142859m²