Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119926 / 119042
↖ ↑ ↗
← S 81.202260°
E149.386597°		 ← 46.71 m → S 81.202260°
E149.389343°		 →
↑
46.70 m
↓
↑
46.70 m
↓
S 81.202680°
E149.386597°		 ← 46.71 m →
2 181 m²		 S 81.202680°
E149.389343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914966583251953 y=0.908222198486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914966583251953 × 217)
    floor (0.914966583251953 × 131072)
    floor (119926.5)     		tx = 119926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908222198486328 × 217)
    floor (0.908222198486328 × 131072)
    floor (119042.5)     		ty = 119042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119926 / 119042 ti = "17/119926/119042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119926/119042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119926 ÷ 217
    119926 ÷ 131072     		x = 0.914962768554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119042 ÷ 217
    119042 ÷ 131072     		y = 0.908218383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914962768554688 × 2 - 1) × π
    0.829925537109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60728797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908218383789062 × 2 - 1) × π
    -0.816436767578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56491175107072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60728797} λ = 2.60728797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56491175107072))-π/2
    2×atan(0.0769259697767647)-π/2
    2×0.0767747671060432-π/2
    0.153549534212086-1.57079632675     		φ = -1.41724679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60728797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.386597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41724679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.202260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119926 KachelY 119042 2.60728797 -1.41724679 149.386597 -81.202260
    Oben rechts KachelX + 1 119927 KachelY 119042 2.60733591 -1.41724679 149.389343 -81.202260
    Unten links KachelX 119926 KachelY + 1 119043 2.60728797 -1.41725412 149.386597 -81.202680
    Unten rechts KachelX + 1 119927 KachelY + 1 119043 2.60733591 -1.41725412 149.389343 -81.202680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41724679--1.41725412) × R
    7.32999999986106e-06 × 6371000     		dl = 46.6994299991148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41724679--1.41725412) × R
    7.32999999986106e-06 × 6371000     		dr = 46.6994299991148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60728797-2.60733591) × cos(-1.41724679) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.152946863026275 × 6371000     		do = 46.7139088208808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60728797-2.60733591) × cos(-1.41725412) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.152939619263911 × 6371000     		du = 46.7116963894005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41724679)-sin(-1.41725412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152946863026275-0.152939619263911)×R²
    abs(2.60733591-2.60728797)×7.24376236352353e-06×R²
    4.79400000004127e-05×7.24376236352353e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×7.24376236352353e-06×40589641000000     		ar = 2181.46125528783m²