Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119923 / 117483
↖ ↑ ↗
← S 80.522579°
E149.378357°		 ← 50.29 m → S 80.522579°
E149.381104°		 →
↑
50.27 m
↓
↑
50.27 m
↓
S 80.523031°
E149.378357°		 ← 50.29 m →
2 528 m²		 S 80.523031°
E149.381104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914943695068359 y=0.896327972412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914943695068359 × 217)
    floor (0.914943695068359 × 131072)
    floor (119923.5)     		tx = 119923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896327972412109 × 217)
    floor (0.896327972412109 × 131072)
    floor (117483.5)     		ty = 117483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119923 / 117483 ti = "17/119923/117483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119923/117483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119923 ÷ 217
    119923 ÷ 131072     		x = 0.914939880371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117483 ÷ 217
    117483 ÷ 131072     		y = 0.896324157714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914939880371094 × 2 - 1) × π
    0.829879760742188 × 3.1415926535     		Λ = 2.60714416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.896324157714844 × 2 - 1) × π
    -0.792648315429688 × 3.1415926535     		Φ = -2.49017812456306
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60714416} λ = 2.60714416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49017812456306))-π/2
    2×atan(0.082895199588824)-π/2
    2×0.082706104005972-π/2
    0.165412208011944-1.57079632675     		φ = -1.40538412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60714416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.378357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40538412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.522579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119923 KachelY 117483 2.60714416 -1.40538412 149.378357 -80.522579
    Oben rechts KachelX + 1 119924 KachelY 117483 2.60719210 -1.40538412 149.381104 -80.522579
    Unten links KachelX 119923 KachelY + 1 117484 2.60714416 -1.40539201 149.378357 -80.523031
    Unten rechts KachelX + 1 119924 KachelY + 1 117484 2.60719210 -1.40539201 149.381104 -80.523031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40538412--1.40539201) × R
    7.89000000001039e-06 × 6371000     		dl = 50.2671900000662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40538412--1.40539201) × R
    7.89000000001039e-06 × 6371000     		dr = 50.2671900000662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60714416-2.60719210) × cos(-1.40538412) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164658925373229 × 6371000     		do = 50.2910741296904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60714416-2.60719210) × cos(-1.40539201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164651143062142 × 6371000     		du = 50.2886972115675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40538412)-sin(-1.40539201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164658925373229-0.164651143062142)×R²
    abs(2.60719210-2.60714416)×7.78231108783389e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.78231108783389e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.78231108783389e-06×40589641000000     		ar = 2527.93123812814m²