Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119922 / 117994
↖ ↑ ↗
← S 80.750908°
E149.375610°		 ← 49.09 m → S 80.750908°
E149.378357°		 →
↑
49.06 m
↓
↑
49.06 m
↓
S 80.751349°
E149.375610°		 ← 49.09 m →
2 408 m²		 S 80.751349°
E149.378357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117994 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914936065673828 y=0.900226593017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914936065673828 × 217)
    floor (0.914936065673828 × 131072)
    floor (119922.5)     		tx = 119922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900226593017578 × 217)
    floor (0.900226593017578 × 131072)
    floor (117994.5)     		ty = 117994
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119922 / 117994 ti = "17/119922/117994"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119922/117994.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119922 ÷ 217
    119922 ÷ 131072     		x = 0.914932250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117994 ÷ 217
    117994 ÷ 131072     		y = 0.900222778320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914932250976562 × 2 - 1) × π
    0.829864501953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60709622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900222778320312 × 2 - 1) × π
    -0.800445556640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.51467388026891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60709622} λ = 2.60709622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51467388026891))-π/2
    2×atan(0.0808892874984058)-π/2
    2×0.0807135552742363-π/2
    0.161427110548473-1.57079632675     		φ = -1.40936922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60709622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.375610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40936922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.750908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119922 KachelY 117994 2.60709622 -1.40936922 149.375610 -80.750908
    Oben rechts KachelX + 1 119923 KachelY 117994 2.60714416 -1.40936922 149.378357 -80.750908
    Unten links KachelX 119922 KachelY + 1 117995 2.60709622 -1.40937692 149.375610 -80.751349
    Unten rechts KachelX + 1 119923 KachelY + 1 117995 2.60714416 -1.40937692 149.378357 -80.751349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40936922--1.40937692) × R
    7.69999999983284e-06 × 6371000     		dl = 49.056699998935m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40936922--1.40937692) × R
    7.69999999983284e-06 × 6371000     		dr = 49.056699998935m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60709622-2.60714416) × cos(-1.40936922) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160726922663835 × 6371000     		do = 49.0901392924924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60709622-2.60714416) × cos(-1.40937692) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160719322767433 × 6371000     		du = 49.0878180885097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40936922)-sin(-1.40937692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160726922663835-0.160719322767433)×R²
    abs(2.60714416-2.60709622)×7.59989640267134e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.59989640267134e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.59989640267134e-06×40589641000000     		ar = 2408.14330096777m²