Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119913 / 118521
↖ ↑ ↗
← S 80.980675°
E149.350891°		 ← 47.88 m → S 80.980675°
E149.353638°		 →
↑
47.85 m
↓
↑
47.85 m
↓
S 80.981105°
E149.350891°		 ← 47.88 m →
2 291 m²		 S 80.981105°
E149.353638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914867401123047 y=0.904247283935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914867401123047 × 217)
    floor (0.914867401123047 × 131072)
    floor (119913.5)     		tx = 119913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904247283935547 × 217)
    floor (0.904247283935547 × 131072)
    floor (118521.5)     		ty = 118521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119913 / 118521 ti = "17/119913/118521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119913/118521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119913 ÷ 217
    119913 ÷ 131072     		x = 0.914863586425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118521 ÷ 217
    118521 ÷ 131072     		y = 0.904243469238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914863586425781 × 2 - 1) × π
    0.829727172851562 × 3.1415926535     		Λ = 2.60666479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904243469238281 × 2 - 1) × π
    -0.808486938476562 × 3.1415926535     		Φ = -2.53993662636868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60666479} λ = 2.60666479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53993662636868))-π/2
    2×atan(0.0788713979991948)-π/2
    2×0.0787084606843714-π/2
    0.157416921368743-1.57079632675     		φ = -1.41337941
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60666479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.350891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41337941 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.980675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119913 KachelY 118521 2.60666479 -1.41337941 149.350891 -80.980675
    Oben rechts KachelX + 1 119914 KachelY 118521 2.60671273 -1.41337941 149.353638 -80.980675
    Unten links KachelX 119913 KachelY + 1 118522 2.60666479 -1.41338692 149.350891 -80.981105
    Unten rechts KachelX + 1 119914 KachelY + 1 118522 2.60671273 -1.41338692 149.353638 -80.981105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41337941--1.41338692) × R
    7.51000000009938e-06 × 6371000     		dl = 47.8462100006332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41337941--1.41338692) × R
    7.51000000009938e-06 × 6371000     		dr = 47.8462100006332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60666479-2.60671273) × cos(-1.41337941) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156767587724133 × 6371000     		do = 47.8808564886268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60666479-2.60671273) × cos(-1.41338692) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156760170576945 × 6371000     		du = 47.8785911009583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41337941)-sin(-1.41338692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156767587724133-0.156760170576945)×R²
    abs(2.60671273-2.60666479)×7.41714718777153e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.41714718777153e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.41714718777153e-06×40589641000000     		ar = 2290.86331945629m²