Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119912 / 118518
↖ ↑ ↗
← S 80.979383°
E149.348144°		 ← 47.89 m → S 80.979383°
E149.350891°		 →
↑
47.85 m
↓
↑
47.85 m
↓
S 80.979813°
E149.348144°		 ← 47.89 m →
2 291 m²		 S 80.979813°
E149.350891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914859771728516 y=0.904224395751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914859771728516 × 217)
    floor (0.914859771728516 × 131072)
    floor (119912.5)     		tx = 119912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904224395751953 × 217)
    floor (0.904224395751953 × 131072)
    floor (118518.5)     		ty = 118518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119912 / 118518 ti = "17/119912/118518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119912/118518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119912 ÷ 217
    119912 ÷ 131072     		x = 0.91485595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118518 ÷ 217
    118518 ÷ 131072     		y = 0.904220581054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91485595703125 × 2 - 1) × π
    0.8297119140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60661685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904220581054688 × 2 - 1) × π
    -0.808441162109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53979281566982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60661685} λ = 2.60661685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53979281566982))-π/2
    2×atan(0.0788827413656904)-π/2
    2×0.0787197339134337-π/2
    0.157439467826867-1.57079632675     		φ = -1.41335686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60661685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.348144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41335686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.979383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119912 KachelY 118518 2.60661685 -1.41335686 149.348144 -80.979383
    Oben rechts KachelX + 1 119913 KachelY 118518 2.60666479 -1.41335686 149.350891 -80.979383
    Unten links KachelX 119912 KachelY + 1 118519 2.60661685 -1.41336437 149.348144 -80.979813
    Unten rechts KachelX + 1 119913 KachelY + 1 118519 2.60666479 -1.41336437 149.350891 -80.979813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41335686--1.41336437) × R
    7.51000000009938e-06 × 6371000     		dl = 47.8462100006332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41335686--1.41336437) × R
    7.51000000009938e-06 × 6371000     		dr = 47.8462100006332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60661685-2.60666479) × cos(-1.41335686) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156789858865284 × 6371000     		do = 47.8876586683934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60661685-2.60666479) × cos(-1.41336437) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.156782441744646 × 6371000     		du = 47.885393288834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41335686)-sin(-1.41336437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156789858865284-0.156782441744646)×R²
    abs(2.60666479-2.60661685)×7.41712063784261e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.41712063784261e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.41712063784261e-06×40589641000000     		ar = 2291.18877807489m²