Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119910 / 118067
↖ ↑ ↗
← S 80.783078°
E149.342651°		 ← 48.92 m → S 80.783078°
E149.345398°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
S 80.783518°
E149.342651°		 ← 48.92 m →
2 394 m²		 S 80.783518°
E149.345398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914844512939453 y=0.900783538818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914844512939453 × 217)
    floor (0.914844512939453 × 131072)
    floor (119910.5)     		tx = 119910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900783538818359 × 217)
    floor (0.900783538818359 × 131072)
    floor (118067.5)     		ty = 118067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119910 / 118067 ti = "17/119910/118067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119910/118067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119910 ÷ 217
    119910 ÷ 131072     		x = 0.914840698242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118067 ÷ 217
    118067 ÷ 131072     		y = 0.900779724121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914840698242188 × 2 - 1) × π
    0.829681396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60652098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900779724121094 × 2 - 1) × π
    -0.801559448242188 × 3.1415926535     		Φ = -2.51817327394117
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60652098} λ = 2.60652098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51817327394117))-π/2
    2×atan(0.0806067187356058)-π/2
    2×0.0804328169942208-π/2
    0.160865633988442-1.57079632675     		φ = -1.40993069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60652098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.342651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40993069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.783078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119910 KachelY 118067 2.60652098 -1.40993069 149.342651 -80.783078
    Oben rechts KachelX + 1 119911 KachelY 118067 2.60656892 -1.40993069 149.345398 -80.783078
    Unten links KachelX 119910 KachelY + 1 118068 2.60652098 -1.40993837 149.342651 -80.783518
    Unten rechts KachelX + 1 119911 KachelY + 1 118068 2.60656892 -1.40993837 149.345398 -80.783518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40993069--1.40993837) × R
    7.68000000017643e-06 × 6371000     		dl = 48.9292800011241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40993069--1.40993837) × R
    7.68000000017643e-06 × 6371000     		dr = 48.9292800011241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60652098-2.60656892) × cos(-1.40993069) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160172727078217 × 6371000     		do = 48.9208736956504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60652098-2.60656892) × cos(-1.40993837) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160165146229959 × 6371000     		du = 48.9185583094615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40993069)-sin(-1.40993837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160172727078217-0.160165146229959)×R²
    abs(2.60656892-2.60652098)×7.5808482577211e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.5808482577211e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.5808482577211e-06×40589641000000     		ar = 2393.60648195847m²