Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119908 / 119118
↖ ↑ ↗
← S 81.234129°
E149.337158°		 ← 46.54 m → S 81.234129°
E149.339905°		 →
↑
46.51 m
↓
↑
46.51 m
↓
S 81.234547°
E149.337158°		 ← 46.53 m →
2 164 m²		 S 81.234547°
E149.339905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119908 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119118 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914829254150391 y=0.908802032470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914829254150391 × 217)
    floor (0.914829254150391 × 131072)
    floor (119908.5)     		tx = 119908
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908802032470703 × 217)
    floor (0.908802032470703 × 131072)
    floor (119118.5)     		ty = 119118
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119908 / 119118 ti = "17/119908/119118"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119908/119118.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119908 ÷ 217
    119908 ÷ 131072     		x = 0.914825439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119118 ÷ 217
    119118 ÷ 131072     		y = 0.908798217773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914825439453125 × 2 - 1) × π
    0.82965087890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60642511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908798217773438 × 2 - 1) × π
    -0.817596435546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56855495544185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60642511} λ = 2.60642511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56855495544185))-π/2
    2×atan(0.0766462226448301)-π/2
    2×0.0764966597260741-π/2
    0.152993319452148-1.57079632675     		φ = -1.41780301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60642511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.337158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41780301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.234129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119908 KachelY 119118 2.60642511 -1.41780301 149.337158 -81.234129
    Oben rechts KachelX + 1 119909 KachelY 119118 2.60647304 -1.41780301 149.339905 -81.234129
    Unten links KachelX 119908 KachelY + 1 119119 2.60642511 -1.41781031 149.337158 -81.234547
    Unten rechts KachelX + 1 119909 KachelY + 1 119119 2.60647304 -1.41781031 149.339905 -81.234547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41780301--1.41781031) × R
    7.29999999982134e-06 × 6371000     		dl = 46.5082999988617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41780301--1.41781031) × R
    7.29999999982134e-06 × 6371000     		dr = 46.5082999988617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60642511-2.60647304) × cos(-1.41780301) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152397163649439 × 6371000     		do = 46.5363072582635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60642511-2.60647304) × cos(-1.41781031) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.152389948914246 × 6371000     		du = 46.5341041520789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41780301)-sin(-1.41781031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152397163649439-0.152389948914246)×R²
    abs(2.60647304-2.60642511)×7.214735193245e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.214735193245e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.214735193245e-06×40589641000000     		ar = 2164.27330750759m²