Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119907 / 119116
↖ ↑ ↗
← S 81.233292°
E149.334412°		 ← 46.55 m → S 81.233292°
E149.337158°		 →
↑
46.51 m
↓
↑
46.51 m
↓
S 81.233710°
E149.334412°		 ← 46.55 m →
2 165 m²		 S 81.233710°
E149.337158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914821624755859 y=0.908786773681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914821624755859 × 217)
    floor (0.914821624755859 × 131072)
    floor (119907.5)     		tx = 119907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908786773681641 × 217)
    floor (0.908786773681641 × 131072)
    floor (119116.5)     		ty = 119116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119907 / 119116 ti = "17/119907/119116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119907/119116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119907 ÷ 217
    119907 ÷ 131072     		x = 0.914817810058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119116 ÷ 217
    119116 ÷ 131072     		y = 0.908782958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914817810058594 × 2 - 1) × π
    0.829635620117188 × 3.1415926535     		Λ = 2.60637717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908782958984375 × 2 - 1) × π
    -0.81756591796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56845908164261
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60637717} λ = 2.60637717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56845908164261))-π/2
    2×atan(0.0766535713616616)-π/2
    2×0.0765039655198569-π/2
    0.153007931039714-1.57079632675     		φ = -1.41778840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60637717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.334412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41778840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.233292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119907 KachelY 119116 2.60637717 -1.41778840 149.334412 -81.233292
    Oben rechts KachelX + 1 119908 KachelY 119116 2.60642511 -1.41778840 149.337158 -81.233292
    Unten links KachelX 119907 KachelY + 1 119117 2.60637717 -1.41779570 149.334412 -81.233710
    Unten rechts KachelX + 1 119908 KachelY + 1 119117 2.60642511 -1.41779570 149.337158 -81.233710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41778840--1.41779570) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dl = 46.5083000002764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41778840--1.41779570) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dr = 46.5083000002764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60637717-2.60642511) × cos(-1.41778840) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152411602978633 × 6371000     		do = 46.5504266243047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60637717-2.60642511) × cos(-1.41779570) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152404388259694 × 6371000     		du = 46.5482230634337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41778840)-sin(-1.41779570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152411602978633-0.152404388259694)×R²
    abs(2.60642511-2.60637717)×7.2147189394689e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.2147189394689e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.2147189394689e-06×40589641000000     		ar = 2164.92996457785m²