Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119907 / 118931
↖ ↑ ↗
← S 81.155508°
E149.334412°		 ← 46.96 m → S 81.155508°
E149.337158°		 →
↑
46.95 m
↓
↑
46.95 m
↓
S 81.155930°
E149.334412°		 ← 46.96 m →
2 205 m²		 S 81.155930°
E149.337158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118931 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914821624755859 y=0.907375335693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914821624755859 × 217)
    floor (0.914821624755859 × 131072)
    floor (119907.5)     		tx = 119907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907375335693359 × 217)
    floor (0.907375335693359 × 131072)
    floor (118931.5)     		ty = 118931
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119907 / 118931 ti = "17/119907/118931"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119907/118931.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119907 ÷ 217
    119907 ÷ 131072     		x = 0.914817810058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118931 ÷ 217
    118931 ÷ 131072     		y = 0.907371520996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914817810058594 × 2 - 1) × π
    0.829635620117188 × 3.1415926535     		Λ = 2.60637717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907371520996094 × 2 - 1) × π
    -0.814743041992188 × 3.1415926535     		Φ = -2.5595907552129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60637717} λ = 2.60637717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5595907552129))-π/2
    2×atan(0.0773363834797766)-π/2
    2×0.0771827536026878-π/2
    0.154365507205376-1.57079632675     		φ = -1.41643082
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60637717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.334412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41643082 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.155508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119907 KachelY 118931 2.60637717 -1.41643082 149.334412 -81.155508
    Oben rechts KachelX + 1 119908 KachelY 118931 2.60642511 -1.41643082 149.337158 -81.155508
    Unten links KachelX 119907 KachelY + 1 118932 2.60637717 -1.41643819 149.334412 -81.155930
    Unten rechts KachelX + 1 119908 KachelY + 1 118932 2.60642511 -1.41643819 149.337158 -81.155930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41643082--1.41643819) × R
    7.37000000006205e-06 × 6371000     		dl = 46.9542700003953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41643082--1.41643819) × R
    7.37000000006205e-06 × 6371000     		dr = 46.9542700003953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60637717-2.60642511) × cos(-1.41643082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153753181655071 × 6371000     		do = 46.9601792843236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60637717-2.60642511) × cos(-1.41643819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153745899285465 × 6371000     		du = 46.9579550611977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41643082)-sin(-1.41643819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153753181655071-0.153745899285465)×R²
    abs(2.60642511-2.60637717)×7.28236960625961e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.28236960625961e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.28236960625961e-06×40589641000000     		ar = 2204.92871907948m²