Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119904 / 117542
↖ ↑ ↗
← S 80.549224°
E149.326172°		 ← 50.15 m → S 80.549224°
E149.328919°		 →
↑
50.14 m
↓
↑
50.14 m
↓
S 80.549675°
E149.326172°		 ← 50.15 m →
2 514 m²		 S 80.549675°
E149.328919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914798736572266 y=0.896778106689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914798736572266 × 217)
    floor (0.914798736572266 × 131072)
    floor (119904.5)     		tx = 119904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896778106689453 × 217)
    floor (0.896778106689453 × 131072)
    floor (117542.5)     		ty = 117542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119904 / 117542 ti = "17/119904/117542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119904/117542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119904 ÷ 217
    119904 ÷ 131072     		x = 0.914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117542 ÷ 217
    117542 ÷ 131072     		y = 0.896774291992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914794921875 × 2 - 1) × π
    0.82958984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60623336
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.896774291992188 × 2 - 1) × π
    -0.793548583984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.49300640164064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60623336} λ = 2.60623336}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49300640164064))-π/2
    2×atan(0.0826610802292572)-π/2
    2×0.0824735779671164-π/2
    0.164947155934233-1.57079632675     		φ = -1.40584917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60623336} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.326172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40584917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.549224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119904 KachelY 117542 2.60623336 -1.40584917 149.326172 -80.549224
    Oben rechts KachelX + 1 119905 KachelY 117542 2.60628130 -1.40584917 149.328919 -80.549224
    Unten links KachelX 119904 KachelY + 1 117543 2.60623336 -1.40585704 149.326172 -80.549675
    Unten rechts KachelX + 1 119905 KachelY + 1 117543 2.60628130 -1.40585704 149.328919 -80.549675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40584917--1.40585704) × R
    7.86999999990989e-06 × 6371000     		dl = 50.1397699994259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40584917--1.40585704) × R
    7.86999999990989e-06 × 6371000     		dr = 50.1397699994259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60623336-2.60628130) × cos(-1.40584917) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164200205253706 × 6371000     		do = 50.1509691977323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60623336-2.60628130) × cos(-1.40585704) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164192442067867 × 6371000     		du = 50.1485981209526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40584917)-sin(-1.40585704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164200205253706-0.164192442067867)×R²
    abs(2.60628130-2.60623336)×7.7631858391991e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.7631858391991e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.7631858391991e-06×40589641000000     		ar = 2514.49861837284m²