Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119903 / 118962
↖ ↑ ↗
← S 81.168590°
E149.323425°		 ← 46.89 m → S 81.168590°
E149.326172°		 →
↑
46.89 m
↓
↑
46.89 m
↓
S 81.169011°
E149.323425°		 ← 46.89 m →
2 199 m²		 S 81.169011°
E149.326172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914791107177734 y=0.907611846923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914791107177734 × 217)
    floor (0.914791107177734 × 131072)
    floor (119903.5)     		tx = 119903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907611846923828 × 217)
    floor (0.907611846923828 × 131072)
    floor (118962.5)     		ty = 118962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119903 / 118962 ti = "17/119903/118962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119903/118962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119903 ÷ 217
    119903 ÷ 131072     		x = 0.914787292480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118962 ÷ 217
    118962 ÷ 131072     		y = 0.907608032226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914787292480469 × 2 - 1) × π
    0.829574584960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.60618542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907608032226562 × 2 - 1) × π
    -0.815216064453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56107679910112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60618542} λ = 2.60618542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56107679910112))-π/2
    2×atan(0.0772215435694764)-π/2
    2×0.077068595449363-π/2
    0.154137190898726-1.57079632675     		φ = -1.41665914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60618542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.323425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41665914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.168590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119903 KachelY 118962 2.60618542 -1.41665914 149.323425 -81.168590
    Oben rechts KachelX + 1 119904 KachelY 118962 2.60623336 -1.41665914 149.326172 -81.168590
    Unten links KachelX 119903 KachelY + 1 118963 2.60618542 -1.41666650 149.323425 -81.169011
    Unten rechts KachelX + 1 119904 KachelY + 1 118963 2.60623336 -1.41666650 149.326172 -81.169011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41665914--1.41666650) × R
    7.36000000012282e-06 × 6371000     		dl = 46.8905600007825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41665914--1.41666650) × R
    7.36000000012282e-06 × 6371000     		dr = 46.8905600007825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60618542-2.60623336) × cos(-1.41665914) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153527572537498 × 6371000     		do = 46.8912724526383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60618542-2.60623336) × cos(-1.41666650) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.153520299790819 × 6371000     		du = 46.8890511686021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41665914)-sin(-1.41666650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153527572537498-0.153520299790819)×R²
    abs(2.60623336-2.60618542)×7.27274667872146e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.27274667872146e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.27274667872146e-06×40589641000000     		ar = 2198.7059458243m²