Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119901 / 117526
↖ ↑ ↗
← S 80.542005°
E149.317932°		 ← 50.18 m → S 80.542005°
E149.320678°		 →
↑
50.20 m
↓
↑
50.20 m
↓
S 80.542457°
E149.317932°		 ← 50.18 m →
2 519 m²		 S 80.542457°
E149.320678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914775848388672 y=0.896656036376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914775848388672 × 217)
    floor (0.914775848388672 × 131072)
    floor (119901.5)     		tx = 119901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896656036376953 × 217)
    floor (0.896656036376953 × 131072)
    floor (117526.5)     		ty = 117526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119901 / 117526 ti = "17/119901/117526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119901/117526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119901 ÷ 217
    119901 ÷ 131072     		x = 0.914772033691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117526 ÷ 217
    117526 ÷ 131072     		y = 0.896652221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914772033691406 × 2 - 1) × π
    0.829544067382812 × 3.1415926535     		Λ = 2.60608955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.896652221679688 × 2 - 1) × π
    -0.793304443359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.49223941124672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60608955} λ = 2.60608955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49223941124672))-π/2
    2×atan(0.0827245048036546)-π/2
    2×0.0825365717836068-π/2
    0.165073143567214-1.57079632675     		φ = -1.40572318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60608955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.317932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40572318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.542005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119901 KachelY 117526 2.60608955 -1.40572318 149.317932 -80.542005
    Oben rechts KachelX + 1 119902 KachelY 117526 2.60613748 -1.40572318 149.320678 -80.542005
    Unten links KachelX 119901 KachelY + 1 117527 2.60608955 -1.40573106 149.317932 -80.542457
    Unten rechts KachelX + 1 119902 KachelY + 1 117527 2.60613748 -1.40573106 149.320678 -80.542457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40572318--1.40573106) × R
    7.87999999984912e-06 × 6371000     		dl = 50.2034799990387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40572318--1.40573106) × R
    7.87999999984912e-06 × 6371000     		dr = 50.2034799990387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60608955-2.60613748) × cos(-1.40572318) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.164324483892125 × 6371000     		do = 50.1784579800323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60608955-2.60613748) × cos(-1.40573106) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.164316711005079 × 6371000     		du = 50.1760844354649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40572318)-sin(-1.40573106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164324483892125-0.164316711005079)×R²
    abs(2.60613748-2.60608955)×7.77288704639778e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.77288704639778e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.77288704639778e-06×40589641000000     		ar = 2519.07363143001m²