Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11990 / 13597
↖ ↑ ↗
← N 29.257649°
W 48.273926°		 ← 1 065.80 m → N 29.257649°
W 48.262939°		 →
↑
1 065.87 m
↓
↑
1 065.87 m
↓
N 29.248063°
W 48.273926°		 ← 1 065.90 m →
1 136 051 m²		 N 29.248063°
W 48.262939°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365921020507812 y=0.414962768554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365921020507812 × 215)
    floor (0.365921020507812 × 32768)
    floor (11990.5)     		tx = 11990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414962768554688 × 215)
    floor (0.414962768554688 × 32768)
    floor (13597.5)     		ty = 13597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11990 / 13597 ti = "15/11990/13597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11990/13597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11990 ÷ 215
    11990 ÷ 32768     		x = 0.36590576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13597 ÷ 215
    13597 ÷ 32768     		y = 0.414947509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36590576171875 × 2 - 1) × π
    -0.2681884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.84253895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414947509765625 × 2 - 1) × π
    0.17010498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.534400556964386
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84253895} λ = -0.84253895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.534400556964386))-π/2
    2×atan(1.70642503100579)-π/2
    2×1.04071931228043-π/2
    2.08143862456085-1.57079632675     		φ = 0.51064230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84253895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.273926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51064230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.257649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11990 KachelY 13597 -0.84253895 0.51064230 -48.273926 29.257649
    Oben rechts KachelX + 1 11991 KachelY 13597 -0.84234720 0.51064230 -48.262939 29.257649
    Unten links KachelX 11990 KachelY + 1 13598 -0.84253895 0.51047500 -48.273926 29.248063
    Unten rechts KachelX + 1 11991 KachelY + 1 13598 -0.84234720 0.51047500 -48.262939 29.248063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51064230-0.51047500) × R
    0.000167299999999981 × 6371000     		dl = 1065.86829999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51064230-0.51047500) × R
    0.000167299999999981 × 6371000     		dr = 1065.86829999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84253895--0.84234720) × cos(0.51064230) × R
    0.000191750000000046 × 0.872430771396581 × 6371000     		do = 1065.7956732461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84253895--0.84234720) × cos(0.51047500) × R
    0.000191750000000046 × 0.872512525005714 × 6371000     		du = 1065.89554666384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51064230)-sin(0.51047500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872430771396581-0.872512525005714)×R²
    abs(-0.84234720--0.84253895)×8.1753609133095e-05×R²
    0.000191750000000046×8.1753609133095e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.1753609133095e-05×40589641000000     		ar = 1136051.05099477m²