Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119899 / 119390
↖ ↑ ↗
← S 81.347249°
E149.312439°		 ← 45.95 m → S 81.347249°
E149.315185°		 →
↑
45.93 m
↓
↑
45.93 m
↓
S 81.347663°
E149.312439°		 ← 45.95 m →
2 111 m²		 S 81.347663°
E149.315185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119899 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914760589599609 y=0.910877227783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914760589599609 × 217)
    floor (0.914760589599609 × 131072)
    floor (119899.5)     		tx = 119899
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910877227783203 × 217)
    floor (0.910877227783203 × 131072)
    floor (119390.5)     		ty = 119390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119899 / 119390 ti = "17/119899/119390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119899/119390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119899 ÷ 217
    119899 ÷ 131072     		x = 0.914756774902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119390 ÷ 217
    119390 ÷ 131072     		y = 0.910873413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914756774902344 × 2 - 1) × π
    0.829513549804688 × 3.1415926535     		Λ = 2.60599367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910873413085938 × 2 - 1) × π
    -0.821746826171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.5815937921385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60599367} λ = 2.60599367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5815937921385))-π/2
    2×atan(0.0756533321993766)-π/2
    2×0.0755094937267931-π/2
    0.151018987453586-1.57079632675     		φ = -1.41977734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60599367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.312439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41977734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.347249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119899 KachelY 119390 2.60599367 -1.41977734 149.312439 -81.347249
    Oben rechts KachelX + 1 119900 KachelY 119390 2.60604161 -1.41977734 149.315185 -81.347249
    Unten links KachelX 119899 KachelY + 1 119391 2.60599367 -1.41978455 149.312439 -81.347663
    Unten rechts KachelX + 1 119900 KachelY + 1 119391 2.60604161 -1.41978455 149.315185 -81.347663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41977734--1.41978455) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dl = 45.9349099995172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41977734--1.41978455) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dr = 45.9349099995172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60599367-2.60604161) × cos(-1.41977734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150445599387484 × 6371000     		do = 45.9499585226356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60599367-2.60604161) × cos(-1.41978455) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150438471445709 × 6371000     		du = 45.9477814657443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41977734)-sin(-1.41978455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150445599387484-0.150438471445709)×R²
    abs(2.60604161-2.60599367)×7.12794177498699e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.12794177498699e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.12794177498699e-06×40589641000000     		ar = 2110.65720762222m²