Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119898 / 118098
↖ ↑ ↗
← S 80.796706°
E149.309693°		 ← 48.84 m → S 80.796706°
E149.312439°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
S 80.797145°
E149.309693°		 ← 48.84 m →
2 386 m²		 S 80.797145°
E149.312439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914752960205078 y=0.901020050048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914752960205078 × 217)
    floor (0.914752960205078 × 131072)
    floor (119898.5)     		tx = 119898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901020050048828 × 217)
    floor (0.901020050048828 × 131072)
    floor (118098.5)     		ty = 118098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119898 / 118098 ti = "17/119898/118098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119898/118098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119898 ÷ 217
    119898 ÷ 131072     		x = 0.914749145507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118098 ÷ 217
    118098 ÷ 131072     		y = 0.901016235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914749145507812 × 2 - 1) × π
    0.829498291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60594574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901016235351562 × 2 - 1) × π
    -0.802032470703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51965931782939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60594574} λ = 2.60594574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51965931782939))-π/2
    2×atan(0.0804870225727821)-π/2
    2×0.0803138923903866-π/2
    0.160627784780773-1.57079632675     		φ = -1.41016854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60594574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.309693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41016854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.796706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119898 KachelY 118098 2.60594574 -1.41016854 149.309693 -80.796706
    Oben rechts KachelX + 1 119899 KachelY 118098 2.60599367 -1.41016854 149.312439 -80.796706
    Unten links KachelX 119898 KachelY + 1 118099 2.60594574 -1.41017621 149.309693 -80.797145
    Unten rechts KachelX + 1 119899 KachelY + 1 118099 2.60599367 -1.41017621 149.312439 -80.797145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41016854--1.41017621) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41016854--1.41017621) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60594574-2.60599367) × cos(-1.41016854) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159937943430654 × 6371000     		do = 48.8389750800396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60594574-2.60599367) × cos(-1.41017621) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159930372161315 × 6371000     		du = 48.8366631018646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41016854)-sin(-1.41017621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159937943430654-0.159930372161315)×R²
    abs(2.60599367-2.60594574)×7.57126933881302e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.57126933881302e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.57126933881302e-06×40589641000000     		ar = 2386.48786735387m²