Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119897 / 118101
↖ ↑ ↗
← S 80.798024°
E149.306946°		 ← 48.84 m → S 80.798024°
E149.309693°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
S 80.798463°
E149.306946°		 ← 48.84 m →
2 387 m²		 S 80.798463°
E149.309693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118101 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914745330810547 y=0.901042938232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914745330810547 × 217)
    floor (0.914745330810547 × 131072)
    floor (119897.5)     		tx = 119897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901042938232422 × 217)
    floor (0.901042938232422 × 131072)
    floor (118101.5)     		ty = 118101
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119897 / 118101 ti = "17/119897/118101"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119897/118101.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119897 ÷ 217
    119897 ÷ 131072     		x = 0.914741516113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118101 ÷ 217
    118101 ÷ 131072     		y = 0.901039123535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914741516113281 × 2 - 1) × π
    0.829483032226562 × 3.1415926535     		Λ = 2.60589780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901039123535156 × 2 - 1) × π
    -0.802078247070312 × 3.1415926535     		Φ = -2.51980312852825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60589780} λ = 2.60589780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51980312852825))-π/2
    2×atan(0.0804754485100737)-π/2
    2×0.0803023928130771-π/2
    0.160604785626154-1.57079632675     		φ = -1.41019154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60589780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.306946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41019154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.798024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119897 KachelY 118101 2.60589780 -1.41019154 149.306946 -80.798024
    Oben rechts KachelX + 1 119898 KachelY 118101 2.60594574 -1.41019154 149.309693 -80.798024
    Unten links KachelX 119897 KachelY + 1 118102 2.60589780 -1.41019921 149.306946 -80.798463
    Unten rechts KachelX + 1 119898 KachelY + 1 118102 2.60594574 -1.41019921 149.309693 -80.798463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41019154--1.41019921) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41019154--1.41019921) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60589780-2.60594574) × cos(-1.41019154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15991523946572 × 6371000     		do = 48.8422303510627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60589780-2.60594574) × cos(-1.41019921) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159907668168169 × 6371000     		du = 48.8399178819055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41019154)-sin(-1.41019921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15991523946572-0.159907668168169)×R²
    abs(2.60594574-2.60589780)×7.57129755077357e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.57129755077357e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.57129755077357e-06×40589641000000     		ar = 2386.64692610699m²