Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119897 / 117607
↖ ↑ ↗
← S 80.578494°
E149.306946°		 ← 50 m → S 80.578494°
E149.309693°		 →
↑
49.95 m
↓
↑
49.95 m
↓
S 80.578943°
E149.306946°		 ← 49.99 m →
2 497 m²		 S 80.578943°
E149.309693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914745330810547 y=0.897274017333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914745330810547 × 217)
    floor (0.914745330810547 × 131072)
    floor (119897.5)     		tx = 119897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.897274017333984 × 217)
    floor (0.897274017333984 × 131072)
    floor (117607.5)     		ty = 117607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119897 / 117607 ti = "17/119897/117607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119897/117607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119897 ÷ 217
    119897 ÷ 131072     		x = 0.914741516113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117607 ÷ 217
    117607 ÷ 131072     		y = 0.897270202636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914741516113281 × 2 - 1) × π
    0.829483032226562 × 3.1415926535     		Λ = 2.60589780
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.897270202636719 × 2 - 1) × π
    -0.794540405273438 × 3.1415926535     		Φ = -2.49612230011594
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60589780} λ = 2.60589780}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49612230011594))-π/2
    2×atan(0.0824039175498665)-π/2
    2×0.0822181551307034-π/2
    0.164436310261407-1.57079632675     		φ = -1.40636002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60589780} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.306946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40636002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.578494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119897 KachelY 117607 2.60589780 -1.40636002 149.306946 -80.578494
    Oben rechts KachelX + 1 119898 KachelY 117607 2.60594574 -1.40636002 149.309693 -80.578494
    Unten links KachelX 119897 KachelY + 1 117608 2.60589780 -1.40636786 149.306946 -80.578943
    Unten rechts KachelX + 1 119898 KachelY + 1 117608 2.60594574 -1.40636786 149.309693 -80.578943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40636002--1.40636786) × R
    7.84000000009222e-06 × 6371000     		dl = 49.9486400005875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40636002--1.40636786) × R
    7.84000000009222e-06 × 6371000     		dr = 49.9486400005875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60589780-2.60594574) × cos(-1.40636002) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163696267600039 × 6371000     		do = 49.9970536669472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60589780-2.60594574) × cos(-1.40636786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163688533350442 × 6371000     		du = 49.9946914280405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40636002)-sin(-1.40636786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163696267600039-0.163688533350442)×R²
    abs(2.60594574-2.60589780)×7.73424959740754e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.73424959740754e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.73424959740754e-06×40589641000000     		ar = 2497.22583941941m²