Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119896 / 119383
↖ ↑ ↗
← S 81.344357°
E149.304199°		 ← 45.97 m → S 81.344357°
E149.306946°		 →
↑
45.93 m
↓
↑
45.93 m
↓
S 81.344770°
E149.304199°		 ← 45.96 m →
2 111 m²		 S 81.344770°
E149.306946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914737701416016 y=0.910823822021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914737701416016 × 217)
    floor (0.914737701416016 × 131072)
    floor (119896.5)     		tx = 119896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910823822021484 × 217)
    floor (0.910823822021484 × 131072)
    floor (119383.5)     		ty = 119383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119896 / 119383 ti = "17/119896/119383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119896/119383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119896 ÷ 217
    119896 ÷ 131072     		x = 0.91473388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119383 ÷ 217
    119383 ÷ 131072     		y = 0.910820007324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91473388671875 × 2 - 1) × π
    0.8294677734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.60584986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910820007324219 × 2 - 1) × π
    -0.821640014648438 × 3.1415926535     		Φ = -2.58125823384116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60584986} λ = 2.60584986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58125823384116))-π/2
    2×atan(0.0756787225624528)-π/2
    2×0.0755347395487592-π/2
    0.151069479097518-1.57079632675     		φ = -1.41972685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60584986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.304199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41972685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.344357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119896 KachelY 119383 2.60584986 -1.41972685 149.304199 -81.344357
    Oben rechts KachelX + 1 119897 KachelY 119383 2.60589780 -1.41972685 149.306946 -81.344357
    Unten links KachelX 119896 KachelY + 1 119384 2.60584986 -1.41973406 149.304199 -81.344770
    Unten rechts KachelX + 1 119897 KachelY + 1 119384 2.60589780 -1.41973406 149.306946 -81.344770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41972685--1.41973406) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dl = 45.9349099995172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41972685--1.41973406) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dr = 45.9349099995172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60584986-2.60589780) × cos(-1.41972685) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15049551453312 × 6371000     		do = 45.9652038929289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60584986-2.60589780) × cos(-1.41973406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15048838664612 × 6371000     		du = 45.9630268527672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41972685)-sin(-1.41973406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15049551453312-0.15048838664612)×R²
    abs(2.60589780-2.60584986)×7.12788700002465e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.12788700002465e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.12788700002465e-06×40589641000000     		ar = 2111.35750282556m²