Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119891 / 119088
↖ ↑ ↗
← S 81.221563°
E149.290466°		 ← 46.61 m → S 81.221563°
E149.293213°		 →
↑
46.57 m
↓
↑
46.57 m
↓
S 81.221981°
E149.290466°		 ← 46.61 m →
2 171 m²		 S 81.221981°
E149.293213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914699554443359 y=0.908573150634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914699554443359 × 217)
    floor (0.914699554443359 × 131072)
    floor (119891.5)     		tx = 119891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908573150634766 × 217)
    floor (0.908573150634766 × 131072)
    floor (119088.5)     		ty = 119088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119891 / 119088 ti = "17/119891/119088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119891/119088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119891 ÷ 217
    119891 ÷ 131072     		x = 0.914695739746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119088 ÷ 217
    119088 ÷ 131072     		y = 0.9085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914695739746094 × 2 - 1) × π
    0.829391479492188 × 3.1415926535     		Λ = 2.60561018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9085693359375 × 2 - 1) × π
    -0.817138671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56711684845325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60561018} λ = 2.60561018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56711684845325))-π/2
    2×atan(0.0767565274092813)-π/2
    2×0.0766063193517707-π/2
    0.153212638703541-1.57079632675     		φ = -1.41758369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60561018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.290466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41758369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.221563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119891 KachelY 119088 2.60561018 -1.41758369 149.290466 -81.221563
    Oben rechts KachelX + 1 119892 KachelY 119088 2.60565812 -1.41758369 149.293213 -81.221563
    Unten links KachelX 119891 KachelY + 1 119089 2.60561018 -1.41759100 149.290466 -81.221981
    Unten rechts KachelX + 1 119892 KachelY + 1 119089 2.60565812 -1.41759100 149.293213 -81.221981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41758369--1.41759100) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dl = 46.5720099998892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41758369--1.41759100) × R
    7.30999999998261e-06 × 6371000     		dr = 46.5720099998892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60561018-2.60565812) × cos(-1.41758369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152613918178626 × 6371000     		do = 46.6122188939757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60561018-2.60565812) × cos(-1.41759100) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152606693804724 × 6371000     		du = 46.6100123842306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41758369)-sin(-1.41759100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152613918178626-0.152606693804724)×R²
    abs(2.60565812-2.60561018)×7.22437390232589e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.22437390232589e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.22437390232589e-06×40589641000000     		ar = 2170.77334378073m²