Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119891 / 117524
↖ ↑ ↗
← S 80.541103°
E149.290466°		 ← 50.19 m → S 80.541103°
E149.293213°		 →
↑
50.20 m
↓
↑
50.20 m
↓
S 80.541554°
E149.290466°		 ← 50.19 m →
2 520 m²		 S 80.541554°
E149.293213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914699554443359 y=0.896640777587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914699554443359 × 217)
    floor (0.914699554443359 × 131072)
    floor (119891.5)     		tx = 119891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896640777587891 × 217)
    floor (0.896640777587891 × 131072)
    floor (117524.5)     		ty = 117524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119891 / 117524 ti = "17/119891/117524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119891/117524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119891 ÷ 217
    119891 ÷ 131072     		x = 0.914695739746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117524 ÷ 217
    117524 ÷ 131072     		y = 0.896636962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914695739746094 × 2 - 1) × π
    0.829391479492188 × 3.1415926535     		Λ = 2.60561018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.896636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.79327392578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.49214353744748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60561018} λ = 2.60561018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49214353744748))-π/2
    2×atan(0.0827324362964254)-π/2
    2×0.0825444493622308-π/2
    0.165088898724462-1.57079632675     		φ = -1.40570743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60561018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.290466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40570743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.541103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119891 KachelY 117524 2.60561018 -1.40570743 149.290466 -80.541103
    Oben rechts KachelX + 1 119892 KachelY 117524 2.60565812 -1.40570743 149.293213 -80.541103
    Unten links KachelX 119891 KachelY + 1 117525 2.60561018 -1.40571531 149.290466 -80.541554
    Unten rechts KachelX + 1 119892 KachelY + 1 117525 2.60565812 -1.40571531 149.293213 -80.541554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40570743--1.40571531) × R
    7.87999999984912e-06 × 6371000     		dl = 50.2034799990387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40570743--1.40571531) × R
    7.87999999984912e-06 × 6371000     		dr = 50.2034799990387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60561018-2.60565812) × cos(-1.40570743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164340019771569 × 6371000     		do = 50.1936721503133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60561018-2.60565812) × cos(-1.40571531) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164332246904918 × 6371000     		du = 50.1912981167643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40570743)-sin(-1.40571531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164340019771569-0.164332246904918)×R²
    abs(2.60565812-2.60561018)×7.77286665162857e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.77286665162857e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.77286665162857e-06×40589641000000     		ar = 2519.83742330948m²