Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11989 / 13596
↖ ↑ ↗
← N 29.267233°
W 48.284912°		 ← 1 065.70 m → N 29.267233°
W 48.273926°		 →
↑
1 065.74 m
↓
↑
1 065.74 m
↓
N 29.257649°
W 48.284912°		 ← 1 065.80 m →
1 135 809 m²		 N 29.257649°
W 48.273926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365890502929688 y=0.414932250976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365890502929688 × 215)
    floor (0.365890502929688 × 32768)
    floor (11989.5)     		tx = 11989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414932250976562 × 215)
    floor (0.414932250976562 × 32768)
    floor (13596.5)     		ty = 13596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11989 / 13596 ti = "15/11989/13596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11989/13596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11989 ÷ 215
    11989 ÷ 32768     		x = 0.365875244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13596 ÷ 215
    13596 ÷ 32768     		y = 0.4149169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.365875244140625 × 2 - 1) × π
    -0.26824951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84273070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4149169921875 × 2 - 1) × π
    0.170166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.534592304562866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84273070} λ = -0.84273070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.534592304562866))-π/2
    2×atan(1.70675226527966)-π/2
    2×1.04080295161361-π/2
    2.08160590322722-1.57079632675     		φ = 0.51080958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84273070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.284912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51080958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.267233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11989 KachelY 13596 -0.84273070 0.51080958 -48.284912 29.267233
    Oben rechts KachelX + 1 11990 KachelY 13596 -0.84253895 0.51080958 -48.273926 29.267233
    Unten links KachelX 11989 KachelY + 1 13597 -0.84273070 0.51064230 -48.284912 29.257649
    Unten rechts KachelX + 1 11990 KachelY + 1 13597 -0.84253895 0.51064230 -48.273926 29.257649
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51080958-0.51064230) × R
    0.000167279999999992 × 6371000     		dl = 1065.74087999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51080958-0.51064230) × R
    0.000167279999999992 × 6371000     		dr = 1065.74087999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84273070--0.84253895) × cos(0.51080958) × R
    0.000191750000000046 × 0.872349003146403 × 6371000     		do = 1065.69578194228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84273070--0.84253895) × cos(0.51064230) × R
    0.000191750000000046 × 0.872430771396581 × 6371000     		du = 1065.7956732461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51080958)-sin(0.51064230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872349003146403-0.872430771396581)×R²
    abs(-0.84253895--0.84273070)×8.1768250177916e-05×R²
    0.000191750000000046×8.1768250177916e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.1768250177916e-05×40589641000000     		ar = 1135808.79223067m²