Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119888 / 117521
↖ ↑ ↗
← S 80.539748°
E149.282227°		 ← 50.20 m → S 80.539748°
E149.284973°		 →
↑
50.20 m
↓
↑
50.20 m
↓
S 80.540200°
E149.282227°		 ← 50.20 m →
2 520 m²		 S 80.540200°
E149.284973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914676666259766 y=0.896617889404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914676666259766 × 217)
    floor (0.914676666259766 × 131072)
    floor (119888.5)     		tx = 119888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896617889404297 × 217)
    floor (0.896617889404297 × 131072)
    floor (117521.5)     		ty = 117521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119888 / 117521 ti = "17/119888/117521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119888/117521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119888 ÷ 217
    119888 ÷ 131072     		x = 0.9146728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117521 ÷ 217
    117521 ÷ 131072     		y = 0.896614074707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9146728515625 × 2 - 1) × π
    0.829345703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60546637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.896614074707031 × 2 - 1) × π
    -0.793228149414062 × 3.1415926535     		Φ = -2.49199972674862
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60546637} λ = 2.60546637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49199972674862))-π/2
    2×atan(0.0827443349614648)-π/2
    2×0.0825562671271007-π/2
    0.165112534254201-1.57079632675     		φ = -1.40568379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60546637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.282227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40568379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.539748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119888 KachelY 117521 2.60546637 -1.40568379 149.282227 -80.539748
    Oben rechts KachelX + 1 119889 KachelY 117521 2.60551431 -1.40568379 149.284973 -80.539748
    Unten links KachelX 119888 KachelY + 1 117522 2.60546637 -1.40569167 149.282227 -80.540200
    Unten rechts KachelX + 1 119889 KachelY + 1 117522 2.60551431 -1.40569167 149.284973 -80.540200
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40568379--1.40569167) × R
    7.87999999984912e-06 × 6371000     		dl = 50.2034799990387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40568379--1.40569167) × R
    7.87999999984912e-06 × 6371000     		dr = 50.2034799990387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60546637-2.60551431) × cos(-1.40568379) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164363338310295 × 6371000     		do = 50.2007942322593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60546637-2.60551431) × cos(-1.40569167) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164355565474259 × 6371000     		du = 50.198420208061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40568379)-sin(-1.40569167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164363338310295-0.164355565474259)×R²
    abs(2.60551431-2.60546637)×7.77283603636825e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.77283603636825e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.77283603636825e-06×40589641000000     		ar = 2520.19497711999m²