Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119888 / 117519
↖ ↑ ↗
← S 80.538846°
E149.282227°		 ← 50.21 m → S 80.538846°
E149.284973°		 →
↑
50.20 m
↓
↑
50.20 m
↓
S 80.539297°
E149.282227°		 ← 50.20 m →
2 520 m²		 S 80.539297°
E149.284973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914676666259766 y=0.896602630615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914676666259766 × 217)
    floor (0.914676666259766 × 131072)
    floor (119888.5)     		tx = 119888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.896602630615234 × 217)
    floor (0.896602630615234 × 131072)
    floor (117519.5)     		ty = 117519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119888 / 117519 ti = "17/119888/117519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119888/117519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119888 ÷ 217
    119888 ÷ 131072     		x = 0.9146728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117519 ÷ 217
    117519 ÷ 131072     		y = 0.896598815917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9146728515625 × 2 - 1) × π
    0.829345703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60546637
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.896598815917969 × 2 - 1) × π
    -0.793197631835938 × 3.1415926535     		Φ = -2.49190385294938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60546637} λ = 2.60546637}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.49190385294938))-π/2
    2×atan(0.0827522683555194)-π/2
    2×0.0825641465684032-π/2
    0.165128293136806-1.57079632675     		φ = -1.40566803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60546637} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.282227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40566803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.538846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119888 KachelY 117519 2.60546637 -1.40566803 149.282227 -80.538846
    Oben rechts KachelX + 1 119889 KachelY 117519 2.60551431 -1.40566803 149.284973 -80.538846
    Unten links KachelX 119888 KachelY + 1 117520 2.60546637 -1.40567591 149.282227 -80.539297
    Unten rechts KachelX + 1 119889 KachelY + 1 117520 2.60551431 -1.40567591 149.284973 -80.539297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40566803--1.40567591) × R
    7.88000000007116e-06 × 6371000     		dl = 50.2034800004534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40566803--1.40567591) × R
    7.88000000007116e-06 × 6371000     		dr = 50.2034800004534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60546637-2.60551431) × cos(-1.40566803) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16437888395175 × 6371000     		do = 50.2055422713044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60546637-2.60551431) × cos(-1.40567591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164371111136126 × 6371000     		du = 50.2031682533405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40566803)-sin(-1.40567591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16437888395175-0.164371111136126)×R²
    abs(2.60551431-2.60546637)×7.77281562405752e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.77281562405752e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.77281562405752e-06×40589641000000     		ar = 2520.43334546287m²