Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119886 / 119138
↖ ↑ ↗
← S 81.242496°
E149.276733°		 ← 46.50 m → S 81.242496°
E149.279480°		 →
↑
46.51 m
↓
↑
46.51 m
↓
S 81.242914°
E149.276733°		 ← 46.50 m →
2 163 m²		 S 81.242914°
E149.279480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119886 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914661407470703 y=0.908954620361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914661407470703 × 217)
    floor (0.914661407470703 × 131072)
    floor (119886.5)     		tx = 119886
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.908954620361328 × 217)
    floor (0.908954620361328 × 131072)
    floor (119138.5)     		ty = 119138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119886 / 119138 ti = "17/119886/119138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119886/119138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119886 ÷ 217
    119886 ÷ 131072     		x = 0.914657592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119138 ÷ 217
    119138 ÷ 131072     		y = 0.908950805664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914657592773438 × 2 - 1) × π
    0.829315185546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.60537049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908950805664062 × 2 - 1) × π
    -0.817901611328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56951369343425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60537049} λ = 2.60537049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56951369343425))-π/2
    2×atan(0.0765727742137332)-π/2
    2×0.0764236398497768-π/2
    0.152847279699554-1.57079632675     		φ = -1.41794905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60537049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.276733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41794905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.242496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119886 KachelY 119138 2.60537049 -1.41794905 149.276733 -81.242496
    Oben rechts KachelX + 1 119887 KachelY 119138 2.60541843 -1.41794905 149.279480 -81.242496
    Unten links KachelX 119886 KachelY + 1 119139 2.60537049 -1.41795635 149.276733 -81.242914
    Unten rechts KachelX + 1 119887 KachelY + 1 119139 2.60541843 -1.41795635 149.279480 -81.242914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41794905--1.41795635) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dl = 46.5083000002764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41794905--1.41795635) × R
    7.30000000004338e-06 × 6371000     		dr = 46.5083000002764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60537049-2.60541843) × cos(-1.41794905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152252827869383 × 6371000     		do = 46.5019326190684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60537049-2.60541843) × cos(-1.41795635) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.152245612971801 × 6371000     		du = 46.4997290036353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41794905)-sin(-1.41795635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152252827869383-0.152245612971801)×R²
    abs(2.60541843-2.60537049)×7.21489758206961e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.21489758206961e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.21489758206961e-06×40589641000000     		ar = 2162.67458954519m²