Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119882 / 118922
↖ ↑ ↗
← S 81.151706°
E149.265747°		 ← 46.97 m → S 81.151706°
E149.268493°		 →
↑
46.95 m
↓
↑
46.95 m
↓
S 81.152129°
E149.265747°		 ← 46.97 m →
2 205 m²		 S 81.152129°
E149.268493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914630889892578 y=0.907306671142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914630889892578 × 217)
    floor (0.914630889892578 × 131072)
    floor (119882.5)     		tx = 119882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907306671142578 × 217)
    floor (0.907306671142578 × 131072)
    floor (118922.5)     		ty = 118922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119882 / 118922 ti = "17/119882/118922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119882/118922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119882 ÷ 217
    119882 ÷ 131072     		x = 0.914627075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118922 ÷ 217
    118922 ÷ 131072     		y = 0.907302856445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914627075195312 × 2 - 1) × π
    0.829254150390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60517875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907302856445312 × 2 - 1) × π
    -0.814605712890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.55915932311632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60517875} λ = 2.60517875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55915932311632))-π/2
    2×atan(0.0773697560763303)-π/2
    2×0.0772159277021007-π/2
    0.154431855404201-1.57079632675     		φ = -1.41636447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60517875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.265747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41636447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.151706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119882 KachelY 118922 2.60517875 -1.41636447 149.265747 -81.151706
    Oben rechts KachelX + 1 119883 KachelY 118922 2.60522668 -1.41636447 149.268493 -81.151706
    Unten links KachelX 119882 KachelY + 1 118923 2.60517875 -1.41637184 149.265747 -81.152129
    Unten rechts KachelX + 1 119883 KachelY + 1 118923 2.60522668 -1.41637184 149.268493 -81.152129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41636447--1.41637184) × R
    7.37000000006205e-06 × 6371000     		dl = 46.9542700003953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41636447--1.41637184) × R
    7.37000000006205e-06 × 6371000     		dr = 46.9542700003953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60517875-2.60522668) × cos(-1.41636447) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153818742367648 × 6371000     		do = 46.9704034214607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60517875-2.60522668) × cos(-1.41637184) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153811460073241 × 6371000     		du = 46.9681796852576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41636447)-sin(-1.41637184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153818742367648-0.153811460073241)×R²
    abs(2.60522668-2.60517875)×7.28229440677408e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.28229440677408e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.28229440677408e-06×40589641000000     		ar = 2205.40879738188m²