Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119881 / 117959
↖ ↑ ↗
← S 80.735445°
E149.263000°		 ← 49.17 m → S 80.735445°
E149.265747°		 →
↑
49.12 m
↓
↑
49.12 m
↓
S 80.735886°
E149.263000°		 ← 49.17 m →
2 415 m²		 S 80.735886°
E149.265747°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914623260498047 y=0.899959564208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914623260498047 × 217)
    floor (0.914623260498047 × 131072)
    floor (119881.5)     		tx = 119881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899959564208984 × 217)
    floor (0.899959564208984 × 131072)
    floor (117959.5)     		ty = 117959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119881 / 117959 ti = "17/119881/117959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119881/117959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119881 ÷ 217
    119881 ÷ 131072     		x = 0.914619445800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117959 ÷ 217
    117959 ÷ 131072     		y = 0.899955749511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914619445800781 × 2 - 1) × π
    0.829238891601562 × 3.1415926535     		Λ = 2.60513081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.899955749511719 × 2 - 1) × π
    -0.799911499023438 × 3.1415926535     		Φ = -2.5129960887822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60513081} λ = 2.60513081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5129960887822))-π/2
    2×atan(0.0810251167710716)-π/2
    2×0.0808485001089987-π/2
    0.161697000217997-1.57079632675     		φ = -1.40909933
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60513081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.263000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40909933 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.735445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119881 KachelY 117959 2.60513081 -1.40909933 149.263000 -80.735445
    Oben rechts KachelX + 1 119882 KachelY 117959 2.60517875 -1.40909933 149.265747 -80.735445
    Unten links KachelX 119881 KachelY + 1 117960 2.60513081 -1.40910704 149.263000 -80.735886
    Unten rechts KachelX + 1 119882 KachelY + 1 117960 2.60517875 -1.40910704 149.265747 -80.735886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40909933--1.40910704) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dl = 49.1204099999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40909933--1.40910704) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dr = 49.1204099999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60513081-2.60517875) × cos(-1.40909933) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16099329794379 × 6371000     		do = 49.1714971594903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60513081-2.60517875) × cos(-1.40910704) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160985688512104 × 6371000     		du = 49.1691730431865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40909933)-sin(-1.40910704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16099329794379-0.160985688512104)×R²
    abs(2.60517875-2.60513081)×7.60943168620631e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.60943168620631e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.60943168620631e-06×40589641000000     		ar = 2415.26701984269m²