Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119880 / 118072
↖ ↑ ↗
← S 80.785278°
E149.260254°		 ← 48.91 m → S 80.785278°
E149.263000°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
S 80.785718°
E149.260254°		 ← 48.91 m →
2 393 m²		 S 80.785718°
E149.263000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914615631103516 y=0.900821685791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914615631103516 × 217)
    floor (0.914615631103516 × 131072)
    floor (119880.5)     		tx = 119880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900821685791016 × 217)
    floor (0.900821685791016 × 131072)
    floor (118072.5)     		ty = 118072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119880 / 118072 ti = "17/119880/118072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119880/118072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119880 ÷ 217
    119880 ÷ 131072     		x = 0.91461181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118072 ÷ 217
    118072 ÷ 131072     		y = 0.90081787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91461181640625 × 2 - 1) × π
    0.8292236328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60508287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90081787109375 × 2 - 1) × π
    -0.8016357421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.51841295843927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60508287} λ = 2.60508287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51841295843927))-π/2
    2×atan(0.0805874008698711)-π/2
    2×0.0804136238052551-π/2
    0.16082724761051-1.57079632675     		φ = -1.40996908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60508287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.260254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40996908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.785278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119880 KachelY 118072 2.60508287 -1.40996908 149.260254 -80.785278
    Oben rechts KachelX + 1 119881 KachelY 118072 2.60513081 -1.40996908 149.263000 -80.785278
    Unten links KachelX 119880 KachelY + 1 118073 2.60508287 -1.40997676 149.260254 -80.785718
    Unten rechts KachelX + 1 119881 KachelY + 1 118073 2.60513081 -1.40997676 149.263000 -80.785718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40996908--1.40997676) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dl = 48.9292799997094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40996908--1.40997676) × R
    7.67999999995439e-06 × 6371000     		dr = 48.9292799997094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60508287-2.60513081) × cos(-1.40996908) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160134832613416 × 6371000     		do = 48.9092997506967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60508287-2.60513081) × cos(-1.40997676) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160127251717941 × 6371000     		du = 48.9069843500863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40996908)-sin(-1.40997676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160134832613416-0.160127251717941)×R²
    abs(2.60513081-2.60508287)×7.5808954753398e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.5808954753398e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.5808954753398e-06×40589641000000     		ar = 2393.04017664718m²