Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 11988 / 15132
↖ ↑ ↗
← N 13.624633°
W 48.295898°		 ← 1 187.20 m → N 13.624633°
W 48.284912°		 →
↑
1 187.24 m
↓
↑
1 187.24 m
↓
N 13.613956°
W 48.295898°		 ← 1 187.25 m →
1 409 518 m²		 N 13.613956°
W 48.284912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 11988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.365859985351562 y=0.461807250976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.365859985351562 × 215)
    floor (0.365859985351562 × 32768)
    floor (11988.5)     		tx = 11988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461807250976562 × 215)
    floor (0.461807250976562 × 32768)
    floor (15132.5)     		ty = 15132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 11988 / 15132 ti = "15/11988/15132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/11988/15132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 11988 ÷ 215
    11988 ÷ 32768     		x = 0.3658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15132 ÷ 215
    15132 ÷ 32768     		y = 0.4617919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3658447265625 × 2 - 1) × π
    -0.268310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.84292244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4617919921875 × 2 - 1) × π
    0.076416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.240067993297241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.84292244} λ = -0.84292244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240067993297241))-π/2
    2×atan(1.27133558968137)-π/2
    2×0.904295519831382-π/2
    1.80859103966276-1.57079632675     		φ = 0.23779471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.84292244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.295898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23779471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.624633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 11988 KachelY 15132 -0.84292244 0.23779471 -48.295898 13.624633
    Oben rechts KachelX + 1 11989 KachelY 15132 -0.84273070 0.23779471 -48.284912 13.624633
    Unten links KachelX 11988 KachelY + 1 15133 -0.84292244 0.23760836 -48.295898 13.613956
    Unten rechts KachelX + 1 11989 KachelY + 1 15133 -0.84273070 0.23760836 -48.284912 13.613956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23779471-0.23760836) × R
    0.000186350000000002 × 6371000     		dl = 1187.23585000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23779471-0.23760836) × R
    0.000186350000000002 × 6371000     		dr = 1187.23585000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.84292244--0.84273070) × cos(0.23779471) × R
    0.000191739999999996 × 0.971859815697206 × 6371000     		do = 1187.20017916459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.84292244--0.84273070) × cos(0.23760836) × R
    0.000191739999999996 × 0.971903695422473 × 6371000     		du = 1187.25378156368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23779471)-sin(0.23760836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971859815697206-0.971903695422473)×R²
    abs(-0.84273070--0.84292244)×4.38797252670931e-05×R²
    0.000191739999999996×4.38797252670931e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.38797252670931e-05×40589641000000     		ar = 1409518.43725448m²