Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119879 / 118927
↖ ↑ ↗
← S 81.153818°
E149.257508°		 ← 46.96 m → S 81.153818°
E149.260254°		 →
↑
47.02 m
↓
↑
47.02 m
↓
S 81.154241°
E149.257508°		 ← 46.96 m →
2 208 m²		 S 81.154241°
E149.260254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914608001708984 y=0.907344818115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914608001708984 × 217)
    floor (0.914608001708984 × 131072)
    floor (119879.5)     		tx = 119879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907344818115234 × 217)
    floor (0.907344818115234 × 131072)
    floor (118927.5)     		ty = 118927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119879 / 118927 ti = "17/119879/118927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119879/118927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119879 ÷ 217
    119879 ÷ 131072     		x = 0.914604187011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118927 ÷ 217
    118927 ÷ 131072     		y = 0.907341003417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914604187011719 × 2 - 1) × π
    0.829208374023438 × 3.1415926535     		Λ = 2.60503494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907341003417969 × 2 - 1) × π
    -0.814682006835938 × 3.1415926535     		Φ = -2.55939900761442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60503494} λ = 2.60503494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55939900761442))-π/2
    2×atan(0.0773512139673938)-π/2
    2×0.0771974959009448-π/2
    0.15439499180189-1.57079632675     		φ = -1.41640133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60503494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.257508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41640133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.153818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119879 KachelY 118927 2.60503494 -1.41640133 149.257508 -81.153818
    Oben rechts KachelX + 1 119880 KachelY 118927 2.60508287 -1.41640133 149.260254 -81.153818
    Unten links KachelX 119879 KachelY + 1 118928 2.60503494 -1.41640871 149.257508 -81.154241
    Unten rechts KachelX + 1 119880 KachelY + 1 118928 2.60508287 -1.41640871 149.260254 -81.154241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41640133--1.41640871) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dl = 47.0179800000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41640133--1.41640871) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dr = 47.0179800000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60503494-2.60508287) × cos(-1.41640133) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153782320931025 × 6371000     		do = 46.9592816976381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60503494-2.60508287) × cos(-1.41640871) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153775028713779 × 6371000     		du = 46.9570549313767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41640133)-sin(-1.41640871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153782320931025-0.153775028713779)×R²
    abs(2.60508287-2.60503494)×7.29221724574125e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.29221724574125e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.29221724574125e-06×40589641000000     		ar = 2207.87821873781m²