Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119876 / 118092
↖ ↑ ↗
← S 80.794070°
E149.249268°		 ← 48.85 m → S 80.794070°
E149.252014°		 →
↑
48.87 m
↓
↑
48.87 m
↓
S 80.794509°
E149.249268°		 ← 48.85 m →
2 387 m²		 S 80.794509°
E149.252014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914585113525391 y=0.900974273681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914585113525391 × 217)
    floor (0.914585113525391 × 131072)
    floor (119876.5)     		tx = 119876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900974273681641 × 217)
    floor (0.900974273681641 × 131072)
    floor (118092.5)     		ty = 118092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119876 / 118092 ti = "17/119876/118092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119876/118092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119876 ÷ 217
    119876 ÷ 131072     		x = 0.914581298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118092 ÷ 217
    118092 ÷ 131072     		y = 0.900970458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914581298828125 × 2 - 1) × π
    0.82916259765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60489113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900970458984375 × 2 - 1) × π
    -0.80194091796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.51937169643167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60489113} λ = 2.60489113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51937169643167))-π/2
    2×atan(0.0805101756922195)-π/2
    2×0.0803368964429993-π/2
    0.160673792885999-1.57079632675     		φ = -1.41012253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60489113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.249268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41012253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.794070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119876 KachelY 118092 2.60489113 -1.41012253 149.249268 -80.794070
    Oben rechts KachelX + 1 119877 KachelY 118092 2.60493906 -1.41012253 149.252014 -80.794070
    Unten links KachelX 119876 KachelY + 1 118093 2.60489113 -1.41013020 149.249268 -80.794509
    Unten rechts KachelX + 1 119877 KachelY + 1 118093 2.60493906 -1.41013020 149.252014 -80.794509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41012253--1.41013020) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dl = 48.8655700000966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41012253--1.41013020) × R
    7.67000000001516e-06 × 6371000     		dr = 48.8655700000966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60489113-2.60493906) × cos(-1.41012253) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159983360977886 × 6371000     		do = 48.8528438744598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60489113-2.60493906) × cos(-1.41013020) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159975789764995 × 6371000     		du = 48.850531913522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41012253)-sin(-1.41013020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159983360977886-0.159975789764995)×R²
    abs(2.60493906-2.60489113)×7.57121289055029e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.57121289055029e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.57121289055029e-06×40589641000000     		ar = 2387.16557429489m²