Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119875 / 117953
↖ ↑ ↗
← S 80.732791°
E149.246521°		 ← 49.19 m → S 80.732791°
E149.249268°		 →
↑
49.18 m
↓
↑
49.18 m
↓
S 80.733233°
E149.246521°		 ← 49.18 m →
2 419 m²		 S 80.733233°
E149.249268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119875 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914577484130859 y=0.899913787841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914577484130859 × 217)
    floor (0.914577484130859 × 131072)
    floor (119875.5)     		tx = 119875
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899913787841797 × 217)
    floor (0.899913787841797 × 131072)
    floor (117953.5)     		ty = 117953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119875 / 117953 ti = "17/119875/117953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119875/117953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119875 ÷ 217
    119875 ÷ 131072     		x = 0.914573669433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117953 ÷ 217
    117953 ÷ 131072     		y = 0.899909973144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914573669433594 × 2 - 1) × π
    0.829147338867188 × 3.1415926535     		Λ = 2.60484319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.899909973144531 × 2 - 1) × π
    -0.799819946289062 × 3.1415926535     		Φ = -2.51270846738448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60484319} λ = 2.60484319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51270846738448))-π/2
    2×atan(0.0810484246801737)-π/2
    2×0.0808716559546293-π/2
    0.161743311909259-1.57079632675     		φ = -1.40905301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60484319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.246521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40905301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.732791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119875 KachelY 117953 2.60484319 -1.40905301 149.246521 -80.732791
    Oben rechts KachelX + 1 119876 KachelY 117953 2.60489113 -1.40905301 149.249268 -80.732791
    Unten links KachelX 119875 KachelY + 1 117954 2.60484319 -1.40906073 149.246521 -80.733233
    Unten rechts KachelX + 1 119876 KachelY + 1 117954 2.60489113 -1.40906073 149.249268 -80.733233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40905301--1.40906073) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dl = 49.1841199995753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40905301--1.40906073) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dr = 49.1841199995753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60484319-2.60489113) × cos(-1.40905301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161039013549802 × 6371000     		do = 49.1854598822861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60484319-2.60489113) × cos(-1.40906073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161031394306125 × 6371000     		du = 49.1831327691477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40905301)-sin(-1.40906073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161039013549802-0.161031394306125)×R²
    abs(2.60489113-2.60484319)×7.61924367709277e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.61924367709277e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.61924367709277e-06×40589641000000     		ar = 2419.08633255854m²