Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 119874 / 118082
↖ ↑ ↗
← S 80.789674°
E149.243774°		 ← 48.89 m → S 80.789674°
E149.246521°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
S 80.790114°
E149.243774°		 ← 48.88 m →
2 392 m²		 S 80.790114°
E149.246521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914569854736328 y=0.900897979736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914569854736328 × 217)
    floor (0.914569854736328 × 131072)
    floor (119874.5)     		tx = 119874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900897979736328 × 217)
    floor (0.900897979736328 × 131072)
    floor (118082.5)     		ty = 118082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119874 / 118082 ti = "17/119874/118082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119874/118082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119874 ÷ 217
    119874 ÷ 131072     		x = 0.914566040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118082 ÷ 217
    118082 ÷ 131072     		y = 0.900894165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914566040039062 × 2 - 1) × π
    0.829132080078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60479525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900894165039062 × 2 - 1) × π
    -0.801788330078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51889232743547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60479525} λ = 2.60479525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51889232743547))-π/2
    2×atan(0.0805487790262065)-π/2
    2×0.0803752510474972-π/2
    0.160750502094994-1.57079632675     		φ = -1.41004582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60479525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.243774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41004582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.789674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119874 KachelY 118082 2.60479525 -1.41004582 149.243774 -80.789674
    Oben rechts KachelX + 1 119875 KachelY 118082 2.60484319 -1.41004582 149.246521 -80.789674
    Unten links KachelX 119874 KachelY + 1 118083 2.60479525 -1.41005350 149.243774 -80.790114
    Unten rechts KachelX + 1 119875 KachelY + 1 118083 2.60484319 -1.41005350 149.246521 -80.790114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41004582--1.41005350) × R
    7.68000000017643e-06 × 6371000     		dl = 48.9292800011241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41004582--1.41005350) × R
    7.68000000017643e-06 × 6371000     		dr = 48.9292800011241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60479525-2.60484319) × cos(-1.41004582) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160059082460151 × 6371000     		do = 48.8861637040807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60479525-2.60484319) × cos(-1.41005350) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160051501470323 × 6371000     		du = 48.8838482746524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41004582)-sin(-1.41005350))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160059082460151-0.160051501470323)×R²
    abs(2.60484319-2.60479525)×7.58098982858724e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.58098982858724e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.58098982858724e-06×40589641000000     		ar = 2391.90814586167m²