Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119874 / 117958
↖ ↑ ↗
← S 80.735002°
E149.243774°		 ← 49.17 m → S 80.735002°
E149.246521°		 →
↑
49.18 m
↓
↑
49.18 m
↓
S 80.735445°
E149.243774°		 ← 49.17 m →
2 419 m²		 S 80.735445°
E149.246521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119874 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914569854736328 y=0.899951934814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914569854736328 × 217)
    floor (0.914569854736328 × 131072)
    floor (119874.5)     		tx = 119874
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899951934814453 × 217)
    floor (0.899951934814453 × 131072)
    floor (117958.5)     		ty = 117958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119874 / 117958 ti = "17/119874/117958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119874/117958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119874 ÷ 217
    119874 ÷ 131072     		x = 0.914566040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117958 ÷ 217
    117958 ÷ 131072     		y = 0.899948120117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914566040039062 × 2 - 1) × π
    0.829132080078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60479525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.899948120117188 × 2 - 1) × π
    -0.799896240234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.51294815188258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60479525} λ = 2.60479525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51294815188258))-π/2
    2×atan(0.0810290009570581)-π/2
    2×0.0808523589601447-π/2
    0.161704717920289-1.57079632675     		φ = -1.40909161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60479525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.243774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40909161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.735002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119874 KachelY 117958 2.60479525 -1.40909161 149.243774 -80.735002
    Oben rechts KachelX + 1 119875 KachelY 117958 2.60484319 -1.40909161 149.246521 -80.735002
    Unten links KachelX 119874 KachelY + 1 117959 2.60479525 -1.40909933 149.243774 -80.735445
    Unten rechts KachelX + 1 119875 KachelY + 1 117959 2.60484319 -1.40909933 149.246521 -80.735445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40909161--1.40909933) × R
    7.72000000015538e-06 × 6371000     		dl = 49.1841200009899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40909161--1.40909933) × R
    7.72000000015538e-06 × 6371000     		dr = 49.1841200009899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60479525-2.60484319) × cos(-1.40909161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.161000917235449 × 6371000     		do = 49.1738242872834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60479525-2.60484319) × cos(-1.40909933) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16099329794379 × 6371000     		du = 49.1714971594903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40909161)-sin(-1.40909933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161000917235449-0.16099329794379)×R²
    abs(2.60484319-2.60479525)×7.61929165882247e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.61929165882247e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.61929165882247e-06×40589641000000     		ar = 2418.51404589512m²