Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119872 / 118977
↖ ↑ ↗
← S 81.174912°
E149.238281°		 ← 46.85 m → S 81.174912°
E149.241028°		 →
↑
46.89 m
↓
↑
46.89 m
↓
S 81.175334°
E149.238281°		 ← 46.85 m →
2 197 m²		 S 81.175334°
E149.241028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119872 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914554595947266 y=0.907726287841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914554595947266 × 217)
    floor (0.914554595947266 × 131072)
    floor (119872.5)     		tx = 119872
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907726287841797 × 217)
    floor (0.907726287841797 × 131072)
    floor (118977.5)     		ty = 118977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119872 / 118977 ti = "17/119872/118977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119872/118977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119872 ÷ 217
    119872 ÷ 131072     		x = 0.91455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118977 ÷ 217
    118977 ÷ 131072     		y = 0.907722473144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91455078125 × 2 - 1) × π
    0.8291015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.60469938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907722473144531 × 2 - 1) × π
    -0.815444946289062 × 3.1415926535     		Φ = -2.56179585259542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60469938} λ = 2.60469938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56179585259542))-π/2
    2×atan(0.0771660371071869)-π/2
    2×0.0770134177842423-π/2
    0.154026835568485-1.57079632675     		φ = -1.41676949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60469938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.238281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41676949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.174912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119872 KachelY 118977 2.60469938 -1.41676949 149.238281 -81.174912
    Oben rechts KachelX + 1 119873 KachelY 118977 2.60474731 -1.41676949 149.241028 -81.174912
    Unten links KachelX 119872 KachelY + 1 118978 2.60469938 -1.41677685 149.238281 -81.175334
    Unten rechts KachelX + 1 119873 KachelY + 1 118978 2.60474731 -1.41677685 149.241028 -81.175334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41676949--1.41677685) × R
    7.35999999990078e-06 × 6371000     		dl = 46.8905599993679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41676949--1.41677685) × R
    7.35999999990078e-06 × 6371000     		dr = 46.8905599993679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60469938-2.60474731) × cos(-1.41676949) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15341852987237 × 6371000     		do = 46.8481937214711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60469938-2.60474731) × cos(-1.41677685) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153411257001047 × 6371000     		du = 46.84597286272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41676949)-sin(-1.41677685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15341852987237-0.153411257001047)×R²
    abs(2.60474731-2.60469938)×7.27287132268328e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.27287132268328e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.27287132268328e-06×40589641000000     		ar = 2196.68596997976m²