Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119869 / 119481
↖ ↑ ↗
← S 81.384771°
E149.230042°		 ← 45.74 m → S 81.384771°
E149.232788°		 →
↑
45.74 m
↓
↑
45.74 m
↓
S 81.385182°
E149.230042°		 ← 45.74 m →
2 092 m²		 S 81.385182°
E149.232788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914531707763672 y=0.911571502685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914531707763672 × 217)
    floor (0.914531707763672 × 131072)
    floor (119869.5)     		tx = 119869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911571502685547 × 217)
    floor (0.911571502685547 × 131072)
    floor (119481.5)     		ty = 119481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119869 / 119481 ti = "17/119869/119481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119869/119481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119869 ÷ 217
    119869 ÷ 131072     		x = 0.914527893066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119481 ÷ 217
    119481 ÷ 131072     		y = 0.911567687988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914527893066406 × 2 - 1) × π
    0.829055786132812 × 3.1415926535     		Λ = 2.60455557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911567687988281 × 2 - 1) × π
    -0.823135375976562 × 3.1415926535     		Φ = -2.58595605000393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60455557} λ = 2.60455557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58595605000393))-π/2
    2×atan(0.0753240316251506)-π/2
    2×0.0751820590553903-π/2
    0.150364118110781-1.57079632675     		φ = -1.42043221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60455557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.230042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42043221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.384771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119869 KachelY 119481 2.60455557 -1.42043221 149.230042 -81.384771
    Oben rechts KachelX + 1 119870 KachelY 119481 2.60460350 -1.42043221 149.232788 -81.384771
    Unten links KachelX 119869 KachelY + 1 119482 2.60455557 -1.42043939 149.230042 -81.385182
    Unten rechts KachelX + 1 119870 KachelY + 1 119482 2.60460350 -1.42043939 149.232788 -81.385182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42043221--1.42043939) × R
    7.18000000010655e-06 × 6371000     		dl = 45.7437800006788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42043221--1.42043939) × R
    7.18000000010655e-06 × 6371000     		dr = 45.7437800006788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60455557-2.60460350) × cos(-1.42043221) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149798150715097 × 6371000     		do = 45.7426673926359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60455557-2.60460350) × cos(-1.42043939) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149791051726052 × 6371000     		du = 45.7404996309301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42043221)-sin(-1.42043939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149798150715097-0.149791051726052)×R²
    abs(2.60460350-2.60455557)×7.09898904538431e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.09898904538431e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.09898904538431e-06×40589641000000     		ar = 2092.39293300743m²