Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 119869 / 118905
↖ ↑ ↗
← S 81.144521°
E149.230042°		 ← 47.01 m → S 81.144521°
E149.232788°		 →
↑
47.02 m
↓
↑
47.02 m
↓
S 81.144944°
E149.230042°		 ← 47.01 m →
2 210 m²		 S 81.144944°
E149.232788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 119869 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.914531707763672 y=0.907176971435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.914531707763672 × 217)
    floor (0.914531707763672 × 131072)
    floor (119869.5)     		tx = 119869
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907176971435547 × 217)
    floor (0.907176971435547 × 131072)
    floor (118905.5)     		ty = 118905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 119869 / 118905 ti = "17/119869/118905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/119869/118905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 119869 ÷ 217
    119869 ÷ 131072     		x = 0.914527893066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118905 ÷ 217
    118905 ÷ 131072     		y = 0.907173156738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.914527893066406 × 2 - 1) × π
    0.829055786132812 × 3.1415926535     		Λ = 2.60455557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907173156738281 × 2 - 1) × π
    -0.814346313476562 × 3.1415926535     		Φ = -2.55834439582278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60455557} λ = 2.60455557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55834439582278))-π/2
    2×atan(0.0774328325001104)-π/2
    2×0.0772786284879382-π/2
    0.154557256975876-1.57079632675     		φ = -1.41623907
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60455557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.230042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41623907 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.144521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 119869 KachelY 118905 2.60455557 -1.41623907 149.230042 -81.144521
    Oben rechts KachelX + 1 119870 KachelY 118905 2.60460350 -1.41623907 149.232788 -81.144521
    Unten links KachelX 119869 KachelY + 1 118906 2.60455557 -1.41624645 149.230042 -81.144944
    Unten rechts KachelX + 1 119870 KachelY + 1 118906 2.60460350 -1.41624645 149.232788 -81.144944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41623907--1.41624645) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dl = 47.0179800000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41623907--1.41624645) × R
    7.38000000000127e-06 × 6371000     		dr = 47.0179800000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60455557-2.60460350) × cos(-1.41623907) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153942648782708 × 6371000     		do = 47.0082397358935m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60455557-2.60460350) × cos(-1.41624645) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.153935356749705 × 6371000     		du = 47.0060130258928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41623907)-sin(-1.41624645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153942648782708-0.153935356749705)×R²
    abs(2.60460350-2.60455557)×7.29203300303682e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.29203300303682e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.29203300303682e-06×40589641000000     		ar = 2210.18012805242m²